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98 第2章 関数と関数のグラフ
応用問題 1
aは実数の定数とする.2次関数 f(x)=x-4ax+3 について
(1) f(x) の 0≦x≦2 における最小値を求めよ.
(2) f(x) の 0≦x≦2 における最大値を求めよ.
精講 文字定数aの値によって,2次関数のグラフの軸の位置が変わりま
すので,軸と変域の位置関係に注意して「場合分け」をする必要が
あります.最小値と最大値で場合分けのポイントがどこになるのかを,注意深
く観察してみましょう.
解答
f(x)=(x-2a)2-4a2+3
より,y=f(x)のグラフの軸はx=2α である.
(1) グラフの軸 x=2a が, 変域 0≦x≦2 の 「左側」 にあるか 「中」にある
か「右側」にあるかで,最小値をとる場所が変わる.
軸が変域の 「左側」にある 2a<0
すなわち α <0 のとき
軸が変域の 「中」 にある
•0≦a≦2
軸が変域の 「右側」 にある ... 2a>2
なので、この3つで場合分けをする.
すなわち 0≦a≦1 のとき
すなわち α>1のとき
大
あい
(i) α < 0 のとき
x=0で最小値をとり、最小値は,f(0)=3
(ii) 0≦a≦1のとき
x=2a で最小値をとり,最小値は,f(2a)=-4a2+3
(Ⅲ) α>1 のとき
x=2で最小値をとり,最小値は,f(2)=a+
以上をまとめると
3
(a< 0 のとき)
求める最小値は, -4 +3 (0≦a≦1 のとき)
$30050
[-8a+7 (a>1のとき
(2)