数学Ⅱ章
126 — 数学 ⅡI
PR
x, y は実数とする。
②107 (1) x+y>0 かつ x-y>0ならば2x+y>0 であることを証明せよ。
(2) 「x2+y≦1 ならば3x+y≧k である」 が成り立つようなんの最大値を求めよ。
(1) 不等式 x+y>0 かつ x-y>0の表す領域をP,
不等式2x+y>0の表す領域をQと2x+y=0ky
すると, 領域 P, Q は, それぞれ右の
図(境界線を含まない)のようになり,
図から PCQが成り立つ。
よって, x+y>0 かつx-y>0
ならば 2x+y > 0
x-y=0
である。
(2) 不等式 x2+y2≦1の表す領域をP,
不等式 3x+y≧k の表す領域をQと
すると,命題が成り立つための条件
は,P⊂Qが成り立つことである。
Pは円 x2+y2=1の周および内部,
Qは直線y=-3x+k およびその
上側である。
よって、求めるんの最大値は,直線3x+y=kが, 円
x²+y²=1 と第3象限において接するときkの値である。
円の中心 (0, 0) と直線3x+y-k=0 の距離は
ゆえに
y=-3x+k
=
P
-1
x+y=0
1
Q
x
|300k|_|| なぜ1-K1が
32+12
x+y>0 かつ x-y>0
⇔y>xかつy<x
また, 2x+y > 0 から
y>-2x
3x+y=k5
y≧-3x+k
←点 (x1,y1)と直線
ax+by+c=0の距離は
IKIになるのかlax+bytel 80
+6²
円 x2+y²=1 と直線3x+y=kが第3象限において接す
るとき, x<0 かつy<0より, k<0であるから
第3象限
|k|
ん < 0 かつ
√10 ①この1は さくかつy<0
k= -√10
どこからきたか
N