考え方1
B
例題 32 円と直線の位置関係
円x2+y2+2x-1=0 と直線y=x-a の位置関係を調べよ。
2つの方程式からyを消去してできるxの2次方程式の判別式を調べる。
解 y=x-ax2+y2+2x-1=0 に代入して整理すると,
2x2+2(1-α)x+α²-1=0
判別式をDとすると,
[考え方2
2
11
=(1-a)²-2(a²-1)=-a²−2a+3=−(a+3)(a−1)
4
(i) D> 0, すなわち, -3 <a < 1 のとき、 異なる2点で交わる。
(ii) D = 0, すなわち, α = -3, 1 のとき, 接する。
( D < 0, すなわち, a < - 3.1 <a のとき, 共有点をもたない。
円の中心と直線の距離と, 円の半径の大小関係を調べる。
円の方程式は x+1)2+y2=2 と変形できるから, 中心は点(-1, 0), 半径は
√2である。
円の中心と直線 x-y-α=0 の距離をdとすると、
|-1-al
la +1]
d="
√1²+(-1)²
√2
(i) d<√2. すなわち, la +1 <2より-3<a<1のとき、 異なる2点で交わる。
(i) d=√2,すなわち, la +1=2より,α-31のとき, 接する。
(m) d>√2 すなわち, la +1>2 より, a < -31 <a のとき, 共有点をもた
ない｡
