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(2) (1)より (x+1)(x²-2ax+2)=0 ......①
x=-1, x2-2ax+2=0...
②
51
①が異なる3つの実数解をもつので、 ②がx=-1
「以外の異なる2つの実数解をもてばよい.
(-1)2-2a(-1)+2=0
よって,
a²-2>0
Ja=-3
a+
異なる2点で交わるから>
②がx=-1 を解に
もつと異なる3つの
解にならない
la<-√2/√2<a
したがって, 求めるαの値の範囲は
a<-, - <a<-√2, √2<a
2'
注 (1) (解I) と (解ⅡI) の違いは, (解I)ではf(x)のxに何を代入
するかを自分で見つけてこないといけないのに, (解ⅡI)ではその必要
基礎問
には、入
問題を言
「基礎
ためてあ
題され
基礎問
教科
特に
でき
精講
カテ
は
すく
30 高次方程式
(1)3次式(2a-1)x2-2(a-1)x+2
を因数分解せよ.
(2) に関する方程式
x³-(2a-1)x²-2(a-1)x+2=0
が異なる3つの実数解をもつようなαの値の範囲を求めよ、
(1)3次式の因数分解といえば, 因数定理 (27
もちろん,これで解答が作れます (解I) が, 数学Ⅰで
文字が2種類以上ある式を因数分解するときは,次数の一番
い文字について整理する
ということを学んでいます. (I A4
復習も兼ねて、こちらでも解答を作ってみます(解ⅡI).
II)
第2章
がありません. 代入するπは,土
定数項の約数
最高次の係数の約数
しかないこと
が知られています. だから 代入するxの値の候補は±1, ±2の4つ
(1)より (1次式) (2次式)=0 の形にできました.
しかないのです.
(1次式) = 0 から解が決まるので, (2次式) =0 が異なる2つの実数
注
は因数分解できないので, (判別式) 0 を使います.
2-2ax+2=0
もてばよいように思えますが,これだけでは不十分です.
解答
ポイント
(1) (解Ⅰ)
高次方程式は, 2次以下の整式の積に因数分解して考
える
f(x)=x-(2a-1)-2(a-1)x+2 とおく.
f(-1)=-1-(2a-1)+2(a-1)+2
「f(x)=」 とおくの
=-1-2a+1+2a-2+2=0
は,因数定理を使う
準備
注 因数分解できなくても、このあと学ぶ微分法を使うと解決します。 (95)
=(x+1)+2(x+1)-2.x(x+1)a
_=(x+1){(x+2)-2ax}
=(x+1)(n-2ax+2)
=(z+x+2.c+2)-2(x2+ma
(解Ⅱ)
f(x)=(x+1)(x²-2x+2)
x³-(2a-1)x2-2(a-1)x+2
よって, f(x)は+1 を因数にもち,
xに数字を代入した
演習問題 30
複素数 1+iを1つの解とする実数係数の3次方程式
ときに, αが消える
x+ax2+bx+c=0
......①
ことから,f(-1)=0
を想像する
について、 次の問いに答えよ.
(1) b, c をαで表せ .
(2) ①の実数解をαで表せ.
(3) 方程式①と方程式-bx+3=0 ･･････ ② がただ1つの実数解
を共有するとき, a, b c の値を求めよ.
