Question

M

a1, a2, ・・・ , anを正の整数とする。
a1+a2+・・・+an=20を満たす時、
a1×a2×・・・×anの最大値を考える。

という問題に対して、

(1)n=5のとき
20=5×4より(←ココ！)
4^5=1024

(2)n=7のとき
20=7×2+6より(← ココ！)
2×3^6=1458

という答えで合っていると思いますが、
あくまで感覚的に推測しただけなので、
もし厳密に解法を示せる方がいれば、
教えて頂けると幸いです！
(問題や解答について雑な点が多いので、質問等も受け付けています。)

積の最大値 整数 和が一定 証明

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

Crystal Clear

a1≤a2≤a3≤…≤anとする.

相加相乗から推測すると、等分されるときに積が最大になるだろうと考えられる.
異なる整数a,bに対して
ab<(a+b)/2 · (a+b)/2 ①
ab≤[(a+b)/2 -1/2] · [(a+b)/2 +1/2]　②　等号はaとbの差が1のとき.
が成り立つのでa,bの偶奇が一致するときは①を、偶奇が一致しないときは②を使うことで、和a+bを変化させないまま積abを増加させることができる. ①②は共にa,bを平均的に均す操作に対応する.
これで積を最大化させるような分割において、a1とanの差は1以下であることがわかる. そうでないならばa1とanを上記のように平均化することで積を大きくすることができるが、これは積の最大値であることに反する.
a1+a2+・・・+an=NのときはNをnで割って商をq, 余りをrとすれば
q+…+q+(q+1)+…+(q+1)=N (qはn-r個, q+1はr個)
なる分割で最大値q^(n-r)·(q+1)^r をとる.

M

ご回答いただきありがとうございました！
参考にさせていただきます！

Answer 2

ウンウントリウム

n=5の時(20の約数のとき)は相加・相乗平均から明らかなんですけどね。それ以外がなかなか難しいです。

nが指定されているのが逆に難しいかも？
3が多い方が大きくなりそう？
今考えられる状況では無いのでまた考えてみます。

M

ご回答ありがとうございます！
そうなんです。20の約数でない時は割り切れないので相加相乗が使えず悩んでいます…
私もまた考えてみます！

ちなみにnを他の整数にしてみると以下のようになると思います。

n=1→20
n=2→10^2
n=3→6×7^2
n=4→5^4

n=5→4^5
n=6→3^4×4^2
n=7→2×3^6
n=8→2^4×3^4
n=9→2^7×3^2
n=10→2^10
n=11→1^2×2^9
n=12→1^4×2^8
n=13→1^6×2^7
n=14→1^8×2^6
n=15→1^10×2^5
n=16→1^12×2^4
n=17→1^14×2^3
n=18→1^16×2^2
n=19→1^18×2^1
n=20→1^20

以上から、n≧5のときは積の最大値は2^a×3^bと表されると推測しています。