Question

@.

ヒントだけでもいいので教えてください！

へABC の外心を O, 内心をITとし, ムへABC の外接皿
とする。また, 直線 AI と へABC の外接

のとき, 次を示せ。

①)
(⑫
(③)

 

 

 

, 内接

 

 

 

 

 

DB=DI
AI・D1ニ2ヶ
AABC が正三角形でないと

 

 

の交点で, 点 A と異なる県を D

 

 

の半径をそれ

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

LUX SIT

円絡みの平面幾何なので, 円周角の利用と方べきの定理あたりが頭に浮かぶことでしょう.
(1)は結果から逆算すると証明の方針が見えてきます.
(2)は2R[正弦定理を利用しても解けます]とrをどう結びつけるか考えてみましょう.
(3)は慣れていないと難しいです. ズレのある外心Oと内心Iを結んでみると...
それぞれ図は自分で書いてみましょう.
***
(1) Iは内心なので∠BAD=∠CAD, ∠ABI=∠CBIが成り立ちます.
また∠BIDは△ABIの外角なので∠BID=∠BAD+∠ABIと書けます.
一方, 円周角の定理から, 弦CDに関する円周角について∠CAD=∠DBCです.
以上から∠BID=∠BAD+∠ABI=∠CAD+∠CBI=∠DBC+∠CBI=∠DBIがいえます.
すなわち△BDIはDB=DIの二等辺三角形であることが分かりました.
***
(2) 直線DOと△ABCの外接円の交点をA'とします. また内心Iから辺ACへ下した垂線の足をHとします.
まず線分A'Dは外接円の直径なので∠ABD=90°です. また∠AHI=90°です.
円弧BDの円周角について∠BA'D=∠BAD. また内心の定義から∠BAD=∠HAIがいえます.
以上から△A'BDと△AHIについて∠ABD=∠AHI=90°, ∠BA'D=∠HAIが成り立つので△A'BD∽△AHIがいえます.
したがって(1)の結果と合わせて, A'D/DB=AI/IH⇔AI・DB=A'D[外接円直径]・IH[内接円半径]⇔AI・DI=2Rrを得ます.
***
(3) 外心Oと内心Iを結んだ直線と外接円の交点をE, Fとします.
なお点E, O, I, Fがこの順に一直線上にあるように点をとることにします.
ここで方べきの定理からAI・DI=EI・FI=(OE+OI)・(OF-OI)=R^2-OI^2がいえます.
(2)の結果と合わせるとOI^2=R^2-2Rrとなって主張が示されました.

@.

理解できました！！！！
ご丁寧にありがとうございます😊