Question

なず

球体から円柱体を取り除いた物体の体積と表面積を求める問題を解きましたが、あってますか？模範解答はありません。

一、二問目は自信があります。3問目は結果から間違ってそうってわかるんですよね。3問目が間違ってたら2問目も間違ってそうです。どこが行けなかったのですか？

よろしくお願いします。

6.25 *0<7ヶ<1とする. 座標空間において, 原点を中心とし半径が 1 である球体 有 から, 領域
{(G。%2) で |恨+のくめ} を取り除いて得られる物体を お(⑦) とする. 以下の問いに答えよ.
(1) (7) の体積を求めよ.
(2) g(7) の体積が お の体積の 3 であるとする. このとき, ヶ の値と お(7) の表面積を求めよ.
(3) g(7) の表面積の最大値と最大値を与えるr の値を求めよ.

 

 

 

(広島大類 30)        (固有番号 s304104)

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重積分 体積 表面積

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

Crystal Clear

B(r)は
x^2+y^2+z^2≦1 かつ x^2+y^2≧r^2

(1)z=uでの切断は
x^2+y^2+u^2≦1 かつ x^2+y^2≧r^2
つまり、
r^2≦x^2+y^2≦1-u^2
ゆえにドーナツ型でS(u)=π(1-u^2-r^2)
ただし、r^2≦1-u^2⇔-√(1-r^2)≦u≦√(1-r^2)
とすると楽です。結果は同じです。

(2)内表面はOKです。
外表面は
x^2+y^2+z^2=1 かつ x^2+y^2≧r^2
です。
ゆえに、表面上の点は
(x,y,±√(1-x^2-y^2)) かつ x^2+y^2≧r^2
と表せます。
これで計算すると外表面は4π√(1-r^2)となります。r=0とすると単位球の表面積に一致することがわかります。

なず

回答ありがとうございます！

外面積を求めるとき2つ目の図を見てzの式を間違えたんですねー。たしかに違和感がありました。後で書き直します！

なず

書き直しました。書いててこういう検算の仕方もよかったなと思いました。