Question

なず

固有値を求める簡単だけど計算が複雑な問題(1)を二回解きました。

計算が本当にややこしくて、一回目も二回目も30分もかかっちゃいました！何かいい方法はあるでしょうか？

この問題は他の行とかを引くとすぐに行列式の中の項を係数としてくくり出せるタイプの問題じゃないので、二回目では単に数値を下げる方向で変形していきましたが、時間的に差があまりなかったです。(疲れたかも)

よろしくお願いします。

13.11 次の3次正方行列 4 に対して, 以下の問いに答えよ.

 

10 -6 3
4ー     6 -5 2
ー24 12 -7

52

 

 

 

 

 

(1) 4 の固有値をすべて求めよ.
(2) 4 の各固有値に対する固有べベクトルを求めよ.
(3) 4 の階数rank 4 を求めよ.

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固有値 計算 行列式

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

gößt

こんな風に解いていけばだいぶ計算は楽になると思います

なず

回答ありがとうございます！

くくり出せるようになってますね！これどうやって考えたでしょうか。運がよくてちょうどよくそうなったようにしか見えません。趣旨としては次数が下がる方向で、ですかね？

見てて行のほうだけじゃなくて、行の変形ではダメだったら列の方も試してみるって思ったんですが、でも実際にただの試行錯誤ですよね。主に2、6、-6、12、24を見てキャンセルできるようにやっていくかと思いますが、組み合わせがちょっと多くて試すには時間がかかるような気がします。時間をかける価値はあるのでしょうか。

gößt

たまたまですね

この問題だと初めに0を作りやすいのは
　1行目の-6,3, 2行目の6,2, 3行目の-24,12, 1列目の6,-24, 2列目の-6,12
あたりに注目した変形かなと思いますが、そのうち３つはそのまま次数下げできます。慣れれば一つ一つの検討は暗算でできると思いますし、割と成功しやすいのでやってみてもいいかなと

経験則ですが、固有値を求める問題なら8割くらいは次数下げで解けてしまうので自分で解くときはまずこのやり方を検討しています

なず

暗算ですかー！いつも書いてるので暗算できるなんて思いもしなかったですね。これからやってみたいと思いますが、まあできなくても書いても問題ないでしょう。

gobtさんは次数下げなんですね。わたしは次数下げなんてほぼ考えたことなくて、いつもくくり出せるように変形することを考えてました。それで今回のような問題になるとなかなか見つからなくて。こういうときは次数下げでもっとちょっと工夫できるんですね。そしてこれもダメだったら最後に数値を下げる方向で行く。

まとめてみると次数下げまで考える必要がある問題をやりたくなりましたね。

なず

いつの間にかベスタアンサーが変えられるようになりましたね。今そういう固有値の問題にあって、なんと変形で解けました。うまくなってるの感じてて嬉しいですね。一回だけ試したらうまく行ったので運がよかったようにも思えますけどね〜。

gößt

いいですね(｀・ω・´)
うまくいくときもあったり、うまくいかないときもあったりするもんだと思います。パズルチックに解けるので個人的にはこっちの方が好きですね

Answer 2

哲治

明らかに二回目の数値下げが正解、計算量がかなり減少してますもんね。やり方も論法も正しいです。
時間が変わらなかったのは連続で解いたからだと思いますよ。 固有値、ランクと行基本変形を組み合わせただけの基本問題なんでそんなに気にしなくていいと思いますよ。

なず

回答ありがとうございます！

そうですね。簡単になったように見えますが、結構試行錯誤もあって書いたり消したりで時間かかったのかもしれません。普通連続で同じ問題を解くなら二回目は結構速くなると思ったんですけどねー。そして基本問題であれからこそ、難しい問題より時間がかかっちゃうなんてちょっと納得できないですね。