前半
y1,y2が一次独立ではないと仮定すると、(α,β)≠(0,0)でないα,βが存在して～
ですので、α,βが同時に0にならないだけで一方だけが0になることはあります.
ゆえに途中βで割っているところはβ=0のときはできません.別途β=0の場合を場合分けしてください.この場合α≠0だからαでわってy1=0となるので示すのは楽です.
後半
最後でy2=(y2'/y1')y1としていますが、一次従属になるのはy2=ky1でkが定数のときです.今回は定数でなくて関数なので示せていません.
(kが関数でいいならy1=(y1/y2)y2で任意の関数y1,y2は一次従属になってしまいます.)
正しくは
y1'/y1=y2'/y2
で両辺xで積分して
log|y1|=log|y2|+C'=log|y2|+log e^C'=log(e^C'|y2|)=log(C|y2|)
|y1|=|Cy2|
y1=±Cy2
ゆえに一次従属
途中y1で割りましたが、y1≠0のときと断っておいて、別にy1=0のときもC=0とすればこの形になる、としてもいいです.
y1=0のとき、
y1=0y2 (両辺0だから)
ゆえに、形式的にy1=±Cy2でC=0としたものになる
何度もごめんなさい。
y1=0のとき、y1'=0はわかりましたが、y2'はどうやって消すんですか？
y1=0のときにはy2は求められません。
でも、y2がどんな関数であっても、
y1=0y2
が成り立つことがわかりますか？y1=0のとき左辺は0で右辺は0×y2=0だからです。
y1=0y2
はy1=定数×y2の形をしているので、一次従属です。
ゆえに、y1≠0,y1=0いずれの場合でも一次従属になります。
はい！完全に理解しました！
y2'は気にしなくていいんですね！
長々とありがとうございました！
とても助かりました！
丁寧な解説ありがとうございます！
後半についてもうひとつ疑問点があります。y1=0のときは分母にすることはできないと思うんですが、この時Cはどうやって導きますか？