Question

咲 笑 ☺︎

(3)の解説で分からない所があるので教え頂きたいです。

紫の下線の所、どういう意味ですか？？🙏🏻

まず、f'(x)がどうしてずっと負になるかの所から分からないです、、。

|5 | すべての実数 * で定義された 2 つの関数
7(?) ニァー2e*, 9(z) ニテ二た
がある (は実数の定数とする). 以下の間いに答えよ. Hm logァ三0 であるこ
とは証明なしで用いてよい.
(1) 曲紛りー Z) に接し, かつ点(1, 一 1) を通る直線の方程式を求めよ。
(2) 2曲線りー がZ), りー の() が共有点をもち, かつその点で共通の接線をも
つときのたの値を求めよ.

(3) 2曲線りー アァ) ッー g(Z) の両方に接する直線が 1 本だけ存在するための
たの値の条件を求めよ.

P 配点 50点
1) 13点
(⑫) 18点
3) 24 点

b 出題のねらい

数学外の微分の範囲における接線の求め方, 2 曲線
が接する条件, 接線の本数の開題である. 共通接線の
本数の問題は一般的に難易度が高く, 2017 年東京大
学を始め, 国公立大学, 難関私立医大の記述問題とし
てよく出題きれる. 総合カが必要となるので, 後分分
野の仕上げとしてこなしておきたい.

P 解答
G) (<)ニ1一2e* より, リーザ(ァ) 上の県
(s, ア(5)) における接線は,

タープア(s)(ァテーs)二了げ($)
三(1一2e*)(ァーs)十s一2@*
テ(1一22うァ二(2s一2)@*         6)
である. これが点 (一1, 一1) を通るので.
ー1 =(コ一2eう(一1)す(2一2)@*
ぐう2se*ー0
を飼sテ0
となる. これを ①に代入して, 求める接線は,

ダタデーマー2
となる.

(2) 2 曲線が接するとき, 接点の座標をたとおく
と,

げ(⑦の=g(のうに2のーe7せた ……⑨
アプの=の(の を1ー2のニーe「 ーー ーー③

が成り立つ.③より,
2eターー1王0 とう (2eせ1)(@"ー1)=0
から, @ー1, よって. #王0 である. これを⑨に
代入すると,
ー2ニ1
より, たーー3 である.

(3) 7ー9(z) 上の点 (: 9の(のり) における接線は,

=の(のり(エーの+びの
デーe "(テーの 「十ん
=ーe"z填(4ト1)6"すmt③④
である.、①と④①が一致するとき,

1-2e*=ニーe"*
(25-2)e"テ(TDDe"オた

である. ⑤より, 2@"ー】 =ーe">0 なので
>ーlog 2 である. また

7ーlog(2e*ー})
となり, これを⑥⑤に代入して整理すると.

た三(2s一4)e"十(2@*ー1) log(2e*-1)+1
となる. この式の右辺を CS) とおく.

(<) は常に減少する関数なので, リー/(z) 上
の異なる点における接線が同一の 直線となることは
ない, したがって, 直線 9ニム と曲線 9ーが(s) の
共有点の個数が共通接線の本数である.

が(s)=2e*二(25一4)@*十2e* 1og(2e*ー1)
+(2e-D・妥T
三2se*十2e* log(2e*ー1)
三2e*log e*(2e*一1)
となるので,
が(s)=0 っ e(2e*ー1)=1
で26デーのー1 =0
ゃっ (2e"+1)(@ー1)=0
にニスエコリ
となる.  im zlogテ0 なので,

jim (2e*-1) log(2e*-)=0
ャーー hog2t0

 

であることを考慮すると, ん(5s) の増減 および
ターん(s) のグラフは次の通りである.

s  (-log2)
が(5)
がs) | (log2-D| ヽ |-3| ノ 1(②)

 

 

 

1
ら

 

 

 

 

 

 

 

 

ター が)

』
+

                                                                                            

 

グラフより, 求めるたの値の条件は.
たーー3 または た評一log2一1
である.

全国続一医池部テスト 7月 数字

微分法

Answer 1

Tutti

f'(x)=1-2e^xはe^xが増加関数ですから減少関数です
下線部の意味は常にf'(x)が減少関数ということは、y=f(x)の傾きが常に減少、つまり上に凸の状態になり、y=f(x)上の点から傾きが一致する直線は引けないということです