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平面x=0上においてf(x,y)の増減を調べる。f(0,y)を計算すると、
f(0,y)=y²-y⁴ 
この曲線は(0,0,f(0,0))で極小となる。
ところが、平面y=-4x上でf(x,y)の増減を考えると、
f(x,-4x)=-289x⁴
この曲線は(0,0,f(0,0))で極大となる。
したがって、(0,0,f(0,0))は極大でも極小でもない。

・別の考え方

xy平面において(0,0)近傍上の点(u,v) をとると、
f(u,v)=(4u+v)²-(u²+v²)²
u,vは微小なので、例えばu>0,v>0なら
(4u+v)²>>(u²+v²)²より、
f(u,v)>0だが、4u+v=0が成り立つときは
f(u,v)<0になる場合が出てくる。
そのため、(0,0,f(0,0))は極値をとらない。

りゅう

なるほど!方針とてもわかりやすかったです!!
ありがとうございます😊

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