Question

らんちゃん

少し難しいかもしれません。この問題の解き方わかる方いませんか？🙇

間
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(1 数列人2 の一般項を求めよ                             RI
(2            に    oO                              7  症
(2) とんで囲まれた部2                                       NM

=部分の面積を 4。とす              -

    衝 5 き
9  る 4 を求めよ

漸化式

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

LUX SIT

a[n]が実数であることを把握できていれば混乱しないと思います.　それ以外は標準的な問題といえます.
***
(1)
点P_n(a[n], a[n])における曲線C_nの傾きは2a[n]/a[n]=2なので, 直線ℓ_nの方程式は
y=-(1/2)(x-a[n])+a[n]＝-x/2+(3a[n]/2)である. この直線と曲線C_nとの交点のx座標を求める方程式は
x^/a[n]=-x/2+(3a[n]/2)⇔2x^2+a[n]x-3a[n]^2=0⇔(2x[n]+3a[n])(x[n]-a[n])=0⇔x[n]=-3a[n]/2, a[n](後者は元のP_n).
したがって数列{a[n]}の漸化式はa[1]=1, a[n+1]=(-3/2)a[n]である. これを解くとa[n]=(-3/2)^(n-1)である.
(2)
nの偶奇によって曲線C_nと直線ℓ_nの位置関係が変わることに注意する[具体的にn=1, 2のときのケースを自分で図示しよう].
したがって
A_n=|∫[-3a[n]/2->a[n]] {-x/2+(3a[n]/2)-x^2/a[n]dx| [絶対値をつけることで面倒を回避する. 教科書もこう書いていると思います].
=|-(1/a[n])∫[-3a[n]/2->a[n]](x-a[n])(x+3a[n]/2)dx| [いわゆる1/6公式で確認出来る形. 自分で積分計算することを証明する必要あり].
=|-(1/a[n])∫[-3a[n]/2->a[n]](x+3a[n]/2)^2-(5a[n]/2)(x+3a[n]/2)dx|
=|-(1/a[n]){(1/3)(x+3a[n]/2)^3-(5a[n]/4)(x+3a[n])^2/2}|[-3a[n]/2->a[n]]|
=|(1/6a[n])*(5a[n]/2)^3|
=(125/48)(9/4)^(n-1)
数列{A_n}は初項125/48, 公比9/4の等比数列をなすから, その級数は
Σ[k=1->n] A_k=(125/48){1-(9/4)^n}/{1-(9/4)}=(25/12){(9/4)^n-1}
と求まった.