✨ ベストアンサー ✨
これは逆に考えるといいでしょう. 原点移動に関しては図を書いてみて納得するといいでしょう.
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放物線y=-x^2+x-8を原点対称移動させると(-y)=-(-x)^2+(-x)-8⇔-y=-x^2-x-8⇔y=x^2+x+8.
[原点対称というのは点(x, y)を点(-x, -y)へ移すことです. 逆に移しても同じ変換式です. また2回移すと元へ戻ります]
さらにx軸方向に2, y軸方向に2だけ平行移動させると [これも符号が反転します. 平行移動の意味を考えよう]
y-2=(x-2)^2+(x-2)+8⇔y=(x^2-4x+4)+(x-2)+8+2=x^2-3x+12
これが求める放物線の式である.
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[別解] 素直に考えてみる.
放物線を平行移動, 原点対称移動させても, 放物線の開き具合は変わらない.
したがって元の放物線の方程式はy=x^2+ax+bと書ける[原点対称移動があるので, 2次の係数の符号は反転します].
x軸方向に-2, y軸方向に-2だけ平行移動させると
y-(-2)=(x-(-2))^2+a(x-(-2))+b⇔y=(x^2+4x+4)+(ax+2a)+b-2⇔y=x^2+(a+4)x+(2a+b+2)
さらに原点対称移動させると
(-y)=-(-x)^2+(a+4)(-x)+(2a+b+2)⇔y=-x^2+(a+4)x-(2a+b+2)
これがy=-x^2+x-8と一致するから, a+4=1, 2a+b+2=8⇔a=-3, b=12.
すなわちy=x^2-3x+12が求めるべき方程式である.
詳しく教えてくれてありがとうございます(*' ')*, ,)
放物線の性質を利用した解き方があるので, それも紹介しましょう.
あとは分かりにくいかもしれない点を補充します[この問題はとても大事な考え方を含むので, じっくり解説します].
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放物線y=ax^2+bx+c=a(x+b/2a)^2+{c-a(b/2a)^2}は, 開き具合を表すaと頂点の(-b/2, c-a(b/2a)^2)で形が決まります.
平方完成をする重要性の一つはそこです.
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[別解] 頂点の位置を追跡する. 開き具合は原点対称によって符号が反転する.
y=-x^2+x-8=-(x-1/2)^2-31/4と平方完成でき, 頂点が(1/2, -31/4)であることが分かる.
この頂点は原点対称移動により(-1/2, 31/4)へ, またx軸方向に+2, y軸方向に+2だけ平行移動させると(3/2, 39/4)へ移る.
一方, 元の放物線の2次の項は原点対称移動によって正負が反転するので, ある放物線の方程式はy=(x-3/2)^2+39/4=x^2-3x+12と求まる.
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*分かりにくいときは単純な例で考えるといいです. たとえば
①y=2x^2を原点対称に移動させるとy=-2x^2でaの正負が反転している[a=2以外でも成り立つ. 具体例から一般化する].
②点(1, 2)をx軸方向に3, y軸方向に4移動させると(1+3, 2+4). 逆を考えると-3, -4させるとよい [誰が主人公かを考える]
③原点対称は(x, y)を(-x, -y)へ移す変換. ようするに-を掛ける. 逆変換である(-x, -y)を(x, y)へ移す変換も-を掛ければよい.
④(-1)^2=1だから2回変換すると元へ戻る. 図形的には明らか.