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sinx^3+cosx^3=
(sinx+cosx)(sinx^2-sinxcosx+cosx^2)
と因数分解します
sinx+cosx=a の両辺を二乗すると
1+2sinxcosx=a^2 となりますね
(sinx^2+cosx^2=1を使いました)
あとは代入していくだけです
回答
回答
x+y, xyを用いてx^3+y^3を計算する対称式の問題をやったことがあるでしょう.
この問題はそれと同じタイプですが, ひと工夫が必要です.
sinθ+cosθはあるけれども, sinθcosθがありません. これは2乗することで得られます.
***
sinθ+cosθ=aの両辺を2乗すると(sinθ+cosθ)^2=a^2
⇔(sin^2θ+cos^2θ)+2sinθcosθ=a^2 [sin^2θ+cos^2θ=1が隠し玉です]
⇔sinθcosθ=(a^2-1)/2と計算することが出来る.
したがってsin^3θ+cos^3θ=(sinθ+cosθ)(sin^2θ-sinθcosθ+cos^2θ) [x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)]
=a(1-(a^2-1)/2)=a(3-a^2)/2である.
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