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ベクトルの知識だけで解くと
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(1)AP:PD=s:(1-s), BP:PC=t:(1-t)とする. [△OADと△OBCに注目します]
ただし点Pは線分AD, BCの内分点なので0<s<1, 0<t<1である.
このときOP=(1-s)OA+sOD=(1-t)OC+tOBと表せる[ベクトルの矢印は見やすさのために省きます].
OC=(3/5)OA, OD=(1/3)OBなので
OP=(1-s)OA+(s/3)OB={3(1-t)/5}+tOBが成り立つ. ベクトルOAとOBは線形独立だから
(1-s)=3(1-t)/5かつs/3=t⇔s=3t, 5(1-3t)=3(1-t)⇔s=1/2, t=1/6
すなわちOP=(1/2)OA+(1/6)OB=a/2+b/6.
(2) OP=(2/3)(3a/4+b/4)と書ける.
OQ=3a/4+b/4で定められる点QはOPの延長上かつ線分ABを1:3に内分する点なので条件と一致する.
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初等幾何でも解けます.
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(1)メネラウスの定理から
(AC/CO)*(OB/BD)*(DP/PA)=1⇔DP/PA=(CO/AC)*(BD/OB)=(3/2)*(2/3)=1
したがって点Pは点Aと点Dの中点なので
OP=(1/2)OA+(1/2)OD=(1/2)OA+(1/2)*(1/3)OB=a/2+b/6
(2)チェバの定理から
(OC/CA)*(AQ/QB)*(BD/DO)=1⇔AQ/QB=(CA/OC)*(DO/BD)=(2/3)*(1/2)=1/3
すなわち点QはABを1:3に内分する点なのでOQ=3a/4+b/4.
コメントに全て書いて下さり、ありがとうございます！
わかりやすいです！
[ポイント]
*ベクトルの内分点表示を利用する
*異なる2つの三角形[探し方はこの問題を参考にしよう]から別々の表示を得る.
*ある頂点を始点とし, 別々の辺を表す2つのベクトル[本問ではOAとOB]は"線形(1次)独立"なので係数比較出来る.
*上で得られた方程式を解く. 結果を元に戻すことで欲しいベクトルが得られる.