Question

りおん

23と24の解き方を教えて欲しいです🙏
お願いします。

導習

2

プーt

部分積分法によって, 定積分 Mo +1)3(z一1) gy を宗め 8

数3 定積分 部分積分

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

LUX SIT

部分積分というのは, 積の微分{f(x)g(x)}'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)から導かれます.
すなわち∫f(x)g'(x)dx=[f(x)g(x)]-∫f'(x)g(x)dx[あるいは∫f'(x)g(x)dx=[f(x)g(x)]-∫f(x)g'(x)dx]です.
***
23. まず(x+1)^3と(x-1)のどちらをf(x), g'(x)にするか考えます.
f(x)=(x+1)^3, g(x)=x-1とすると∫{(x+1)^3}'(1/2)(x-1)^2dxは複雑です.
逆に, f(x)=x-1, g'(x)=(x+1)^3と置くと, ∫(1/4)(x+1)^4dxとなって計算できます.
この問題のポイントはf'(x)が定数になるように次元を落とす[次元逓減(reduction)]こと.
これは被積分関数に多項式が含まれる場合, 有効な計算法です.
***
部分積分から
∫[-1->1](x+1)^3（ｘ－１）ｄｘ
=[(1/4)(x+1)^4(x-1)]|[-1->1]-∫[-1->1](1/4)(x+1)^4dx
[どちらを積分して微分するかは慣れも必要です. 他の問題でたっぷり計算練習しましょう]
=-∫[-1->1](x+1)^4dx
=[-(x+1)^5/5]|[-1->1]
=-2^5/5=-8/5.
***
24. 三角関数の場合は(sinx)'=cosx, (cosx)'=-sinxなので2回微分すれば元の関数が表れます.
したがって部分積分を2回すれば計算出来るわけです.　
またx^2も上で述べた次数逓減で定数に落ちることも意識しましょう.
***
部分積分を2回施すと
∫[0->π/2] x^2sin(x)dx
=[x^2*(-cosx)]|[0->π/2]-∫[0->π/2](2x)*(-cosx)dx
=2∫[0->2π]xcosxdx
=2[xsinx]|[0->π/2]-2∫[0->π/2]sinxdx
=π-2[-cos(x)]|[0->π/2]
=π-2

LUX SIT

[訂正]
∫[-1->1](x+1)^3（ｘ－１）ｄｘ　-> ∫[-1->1](x+1)^2(x-1)dx
次元逓減(reduction)->次数逓減

LUX SIT

[補足]
三角関数の場合は(sinx)'=cosx, (cosx)'=-sinxなので2回微分すれば元の関数が表れます.
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微分と積分は逆操作なので2回積分すれば元の関数が表れます.
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∫[-1->1](x+1)^3（ｘ－１）ｄｘ　-> ∫[-1->1](x+1)^3(x-1)dx
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これは全角と半角が変だったので訂正したかったのです.

りおん

丁寧にありがとうございます🙇