多分オリスタですよね？オリスタを解けるレベルの人なら解法のポイントに書いてある文字に関数を当てはめれば解けると思います。
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(1)積の微分や合成関数の微分を用いて計算してみてください。
(2)商の微分や合成関数の微分を用いると解けます。分母の有理化はしなくても大丈夫です。
(3)関数がy=(f(x))^xとなっている場合、xを底として両辺の対数をとり、log(y)=xlog(f(x))とします。ここではy=(√x)^xなので、log(y)=xlog(√x)になります。左辺は微分するとy'/yになり(これも合成関数の微分を用います。)、右辺を微分すると(1/2)(log(x)+1)になります。つまり、y'/y = (1/2)(log(x)+1)です。式変形すると、y'=(1/2)(log(x)+1)yになるので、このyにy=(√x)^xを代入します。
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文中にnが出てきた場合は(数列やn階微分など)、数学的帰納法ではないか疑ってみましょう。特に、n階微分については、e^xやsin,cosなどの何回か微分すれば元の関数に戻るものは周期性に注意しておくとよいでしょう。(sin(x)は微分を2回すると-sin(x)になるので、2回で一周期と考えます。)
y=e^x・cos(x)なので、y(1)=y'=e^x・cos(x)+e^x・sin(x)=e^x(cos(x)+sin(x))です。三角関数の合成を適用すればアが求まります。次に2階微分、3階微分と順に行い、規則を考えて推定帰納法を用います。
一応ですが、n階微分は正しく、n回微分は誤字です。あまり気にする必要はないと思いますが…
ありがとうございます！