Question

ゲスト

この(3)誰か教えてください

距離空間 (XJ2) の本 人剛の六合むする。
の開集合であることを示せ。

Answer 1

gößt

もっといい方法があるかもしれませんが思いついた方法で回答します
Aバーが打てないのでAの閉包はCl(A)と書くことにします

(証)
A⊂Cl(A) なので、δ(A)≦δ(Cl(A)) は容易にわかる
逆の不等号について。任意にb₁, b₂∈Cl(A) をとる
閉包の性質から任意の ε>0 に対して
　d(b₁, a₁)<ε/2, d(b₂, a₂)<ε/2
を満たす a₁, a₂∈A が存在する
このとき、
　d(b₁, b₂)≦d(a₁, a₂)+d(b₁, a₁)+d(b₂, a₂)
　　　　　<δ(A)+ε
εは任意の正の実数を動くから
　d(b₁, b₂)≦δ(A)
b₁, b₂∈Cl(A) は任意であったから、
　δ(Cl(A))≦δ(A)
したがって、
　δ(A)=δ(Cl(A)) ◻︎

ゲスト

ありがとうございます！

gößt

いえいえ(｀・ω・´)