Question

なず

線形の問題をやりました。模範解答はないんですが一部でもいいのであってますか？

(2)は普通どうやって証明するのかわからないので、2通りのやり方で解きましたが、普通はどう解きますか？また、(3)もなんか長々と重複したものも書いちゃって、実はもっと簡潔に書けるんじゃないかって思って。どうでしょうか？

よろしくお願いします。

3 次元数ベクトル空間 R3 において, 3 つのベクトル

 

で生成される部分空間
 テ {cie 十 ez 十 csのs | c1, es, es と選}

を考える. 以下の問いに答えよ.

 

(1) の1 , の2。 の3 が 1 決従属であることを示せ.
(2) gi, o> がの基底となることを示せ.
| < |
(3) レ=   | e R?| az十/十7ヶ三0 〉 を満たす実数 c, 2, y を1 組求めよ.

る
| < |
(4) 1 となるような実数 を求めよ.
g十2

U)     2 3 42
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線形代数

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ゲスト

基底であることを示すには線形独立性と任意のV上のベクトルがそれらで展開できることを示せば必要充分ですので2番目の解答が良いと思います.(3)はv_1,v_2が基底となっているのでc_3は考えず,V={c_1v_1+c_2v_2|c_1,c_2∈R}を考えれば充分です.また,解答に於いて掃き出し法を用いてα等を決定していますが,c_1,c_2,c_3の任意性を用いて計算した方が楽かなと思います

なず

ご回答ありがとうございます！

(2)は2番目でいいんですね。
(3)はc_3が取れるとだいぶ簡単になりますね！後で書いてみます。
c_1, c_2, c_3の任意性というのはなんでしょうか。これを使うならどうやって解くんですか？

なず

書き直しました。v_3が線形従属だけあってそれ取って解いても結果は同じですね！一つ気になるところがあるんですが、下線のところの行列の順序はどれを取るのかどうやって判断するんでしょうか。行列の順序というのは例えば(x y z)t(α β γ)=t(α β γ)(x y z)と、この2通りの表し方のことです。

ゲスト

ただの式変形なんでどっちでもいいんじゃないですかね

なず

そうですね。ただの式変形ですが、ちょっと逆にしてしまうと間違ってるように見えます。最後の式にある左の2つの行行列、計算できないですよね。実は最初書くときがこうなってしまって書き直したんです。

ゲスト

最初の等号が間違っているんだと思いますよ

なず

間違いました？ちょっと見つからないんですが、最初の等号のどこが間違ったでしょうか？

ゲスト

(1,3)行列と(3,3)行列の積は(1,3)行列ですよね

なず

なるほどー！これは行ベクトルだったらこうやって変形するんですね！行ベクトルと列ベクトルで変形が違うなんて、全然気づかなかったです。

これがわかれば、下の等式はどの変形を取るか容易にわかりますね。求めたいものが列ベクトルになるほうの変形です。あってますか？

もう一つ聞きたいのですが、2個上の画像の3つ目の赤いところの方程式って、一般のものと比べて左の方に(c_1 c_2 c_3)が余計にありますよね。なんで掃きだし法で解けるんですか？実際これ最後はt(... ... ...)=0ではなく、...=0になってしまいますよね。

ゲスト

(c_1,c_2,_3)は任意に取れないといけないのでその右側に掛かっているものが零になり,掃き出し法で解を見つけることができます

なず

そういうことなんですね！ということはこんな形の式は必ずしもこうやって解けるわけじゃないんですね。気をつける必要があるかもしれません。

長々と回答していただいて本当にありがとうございました。割と疑問点がいろいろあって大変勉強になりました。