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P(x,y), Q(0,y) , A(0,u)とおくと
OQ:OA＝v:1
より
y:u＝v:1
ゆえにy＝uvが言えます
幾何的性質というよりは割合的な見方になりますが、上で書いた式をじっくり吟味すれば直感的に理解できるようになると思います
xy平面上の線分をa:bに内分することはx座標、y座標ごとにa:bで内分することと解釈できます(比が逆転することはありますが)
さらに、線分を1-v:vに内分する場合、全体は1になるのでvという値は割合に他なりません。文字ベースだと分かりづらいかもしれませんが、例えば
A:B＝5:3
ならBの割合は3/8だけど、
A:B＝3/4:1/4
ならBの割合は1/4、のように比に表れる数値がそのまま割合になるという意味です。これはBが全体の1/4倍であるとも言えます
以上を考えると、(0,u) と (u,0) を 1-v:v に内分した点がPであることから u:y=1:v がすぐ分かり、したがってyはuのv倍なので y=uv と分かります
uvという形を見ると長方形のような二次元の面積として捉えられそうな気にもなりますが、おそらくこのようにvを割合と捉えるのがスタンダードな理解の仕方ではないかと個人的には思います
詳しく解説していただきありがとうございます！すごくわかりやすいです！
割合と言われて、y=1/xも試してみたんですが、vは[0, 1]のような割合にならなかったようです。多分線分じゃないと「xy平面上の線分をa:bに内分することはx座標、y座標ごとにa:bで内分することと解釈できる」というのが成立しないからダメですね。ちょっと夢見てました。
いえいえ(｀・ω・´)
y=1/xで試した例は
D={(x,y) : x>0,0≦y≦x/a}
なる領域の変数変換を考えたということでしょうか？これがうまくいかないのは、曲線y=u/xとDとの共通部分が有限長にならないからじゃないかと思います
元の設定だと、x+y=u 上の点(x,y)に対して
0≦y≦u
なので両辺をuで割って
0≦y/u≦1
よって v=y/u と置けば 0≦v≦1 が得られますが、今の場合 y=u/x 上の点(x,y)について
0≦y<∞
なので適当な実数で割って[0,1]に収めることができなくなるというわけです
なるほど。ということはyに上限があれば比率のように[0, 1]に収められますね。でも収められるとしてもこの変数変換じゃなさそうです。
え、ちょっとよく見れば変換の一部のuからvの変換を考えるんですね。初めて見ました！
ご回答ありがとうございます！
た、確かにこうやって計算すると導き出せますね！でもなんかまだちょっとつかめなくて。幾何の性質とかを使って理解することは可能でしょうか？uv=yという書き方で置いたので、これもなにか意味してるんじゃないかって思って。