Question

むむ

この問題の解き方を教えてください🙇🏻‍♀️

次の不等式を証明せよ。また, 等号が成り立つのはどのようなときか。
ダッティツタ

式と証明

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

LUX SIT

差分をとってみましょう.
x^4+y^4-(x^3y+xy^3)=x^3(x-y)+y^3(y-x)=(x-y)(x^3-y^3)=(x-y)^2(x^2+xy+y^2)
となります. (x-y)^2≧0は分かりますが, x^2+xy+y^2の符号が分かりません.
平方完成するとx^2+xy+y^2=(x+(y/2))^2+(√3y/2)^2となるので0以上であることが分かります.
***
[解答例]
まずx^2+xy+y^2=(x+(y/2))^2+(√3y/2)^2≧0が成り立つ. 等号成立はx+(y/2)=0かつy=0なのでx=y=0.
またx^4+y^4-(x^3y+xy^3)=x^3(x-y)-y^3(x-y)=(x-y)(x^3-y^3)=(x-y)^2(x^2+xy+y^2)≧0が成り立つ.
これはx^4+y^4≧x^3y+xy^3と同値である.なお等号成立はx=yである.

むむ

ありがとうございます！😊