✨ ベストアンサー ✨
xが整数であるということで話を進めますね。
まず、x⁵－xを因数分解します。
x⁵－x＝x(x⁴－1)
＝x(x²－1)(x²＋1)
＝x(x－1)(x＋1)(x²＋1) となります。
ここで、x(x－1)(x＋1)に着目します。
順番を変えると(x－1)x(x＋1)となり、xは自然数よりこれは『連続３整数の積』を表しています。
連続３整数の積は、6の倍数であることがいえます。
【証明】
❶xが整数のとき，x(x＋1)がつねに２の倍数であることを示す。( x(x－1)で示してもいいです。)
(ⅰ) xが偶数（x＝2k) のとき (kは整数とする)
x(x＋1)＝2k(2k＋1)
2k＋1は整数より、x(x＋1)は2の倍数である
(ⅱ) xが奇数（x＝2k＋1) のとき
x(x＋1)＝(2k＋1)(2k＋2)＝2(2k＋1)(k＋1)
(2k＋1)(k＋1)は整数より、x(x＋1)は2の倍数である
(ⅰ),(ⅱ)より，x(x＋1)は2の倍数である
このことから、(x－1)x(x＋1)は2の倍数であることが分かる
次に(x－1)x(x＋1)が3の倍数であることを示す。
(ⅰ) xが３の倍数（x＝3k) のとき
(x－1)x(x＋1)＝(3k－1)(3k)(3k＋1)
＝3(3k－1)k(3k＋1)
(3k－1)k(3k＋1)は整数より、(x－1)x(x＋1)は3の倍数である
(ⅱ) x＝3k＋1のとき
(x－1)x(x＋1)＝3k(3k＋1)(3k＋2)
k(3k＋1)(3k＋2)は整数より、(x－1)x(x＋1)は3の倍数である
(ⅲ) x＝3k＋2のとき
(x－1)x(x＋1)=(3k＋1)(3k＋2)(3k＋3)＝3(3k＋1)(3k＋2)(k＋1)
(3k＋1)(3k＋2)(k＋1)は整数より、(x－1)x(x＋1)は3の倍数である
(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)より，(x－1)x(x＋1)は3の倍数である
よって、(x－1)x(x＋1)は2の倍数でも3の倍数でもあるので、6の倍数である
❷(x－1)x(x＋1)(x²＋1)…① が5の倍数であることを示します
(ⅰ)x＝5kのとき
①でxが5の倍数となるので①は5の倍数である
(ⅱ)x＝5k＋1のとき
①で(x－1)＝5kとなり、(x－1)が5の倍数であるので①は5の倍数である
(ⅲ)x＝5k＋2のとき
①で(x²＋1)＝5(5k²＋4k＋1)となり、5k²＋4k＋1は整数より、(x²＋1)が5の倍数となるので、①は5の倍数である
(ⅳ)x＝5k＋3のとき
①で(x²＋1)＝5(5k²＋6k＋2)となり、5k²＋6k＋2は整数より、(x²＋1)が5の倍数となるので、①は5の倍数である
(ⅴ)x＝5k＋4のとき
①で(x＋1)＝5(k＋1)となり、k＋1は整数より、(x＋1)が5の倍数となるので、①は5の倍数である
(ⅰ)～(ⅴ)より、(x－1)x(x＋1)(x²＋1)は5の倍数である
❶,❷より、(x－1)x(x＋1)(x²＋1)は6の倍数かつ5の倍数であるので、これは30の倍数である
大変長くなって申し訳ありません💦
《追加》
連続３整数の積が6の倍数であることは、これを証明しなさいという問題でなければ、普通に解答のなかで使ってもＯＫです。
(n－1)n(n＋1)のうち、どれか1つは2の倍数だし、どれか1つは3の倍数であるので、(n－1)n(n＋1)が6の倍数になることは明らかだからです！