✨ ベストアンサー ✨
少し勘違いしているみたいです。
まず
lim_[h→0](1+h/a)^(1/h) = e
ではありません。
eの定義である
lim_[n→∞](1+1/n)^n=e
を使うとき最も大事なのは1/n(1+の後ろ)とn(指数)とが”互いに逆数”の関係にあることです。
この時初めてeに収束します。
質問者さんの変形では惜しい形ではあるものの逆数の形にはなっていません。
なのでeにはなりません。
じゃあどうするのかと言うと
lim_[h→0](1+h/a)^(1/h)
= lim_[h→0](1+h/a)^{(a/h)*(1/a)}
として無理やり逆数の関係を作って辻褄を合わせます。
すると
lim_[h→0](1+h/a)^{(a/h)*(1/a)}
= lim_[h→0]{(1+h/a)^(a/h)}^(1/a)
= e^(1/a)
となる事が分かりlogが連続であることから
lim_[h→0]log(1+h/a)^(1/h) = 1/a
となって答えと一致する事が確認できるでしょう。
この考え方は入試ではすごく大事ですが、この問題においてはやや遠回りな気がします。
答えにあるように微分の定義に気がつきたいところですね。
