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束という考え方です。
f(x,y)=0とg(x,y)=0 との交点を点(a,b)とします。
(交点を持つとする。)
すると
f(a,b)=g(a,b)=0が成り立つので
f(x,y)+kg(x,y)=0 という方程式は、
f(a,b)+kg(a,b)=0が成り立ちますよね。・・・①
(なぜなら 0+k•0=0が成り立つからです。)
ここで、
f(x,y)+kg(a,b)=0 という方程式は、なんらかのxとyについての関数を表します。ということは、xy平面上でなんらかのグラフを描き得るということです。このグラフをh(x,y)=0・・・②としておきましょう。ここで①から、グラフ②は、①から点(a,b)(すなわちf(x,y)=0とg(x,y)=0との交点)を通るということになります。
以上より
f(x,y)+kg(x,y)=0 は
f(x,y)=0とg(x,y)=0との交点を通るなんらかのグラフが描けます。
抽象度が高いので、具体的にやってみましょう。
f(x,y)=x^2+y^2-4=0,g(x,y)=(x-2)^2+(y-3)^2-13=0
としてやってみましょう。グラフは
写真見たいになります。
ここで
f(x,y)+kg(x,y)=0を考えると
(x^2+y^2-4)+k((x-2)^2+(y-3)^2-13)=0・・・③
となりますね。③を眺めてみると、f(x,y)=0とg(x,y)=0との交点を通るx,yの高々二次式になっています。ここで直線の方程式はx,yの一次式ですので、③におけるkをk→-1とすると
(X^2+y^2-4)-(x^2-4x+4+y^2-6y-4)=0
⇔4x+6y-4=0
これがf(x,y)=0とg(x,y)=0との交点を通る直線の方程式です。最高次の係数を調整してやることで交点を通る直線、又は円の方程式にもすることができます。
長文失礼。
非常にわかり易かったです！ほんとにありがとうございました!