Question

らく

(2)解き方教えて欲しいです！

Answer 1

LUX SIT

ある多項式を2次式で割った余りは1次式以下です.
***
[解1] 因数分解する
x^nを(x-1)^2で割った余りは高々1次式である. 商をQ(x)とすると
x^n=(x-1)^2Q(x)+a(x-1)+b
と書くことが出来る.
剰余定理からx=1のとき, 1=b
x^n=(x-1)^2Q(x)+1⇔x^n-1=(x-1)^2Q(x)+a(x-1)
n=1のとき, x-1=(x-1)^2Q(x)+a(x-1)でQ(x)=0[1次式を2次式で割ると商は0]なのでa=1
n≧2のとき, (x-1)(x^(n-1)+x^(n-2)+…+x+1)=(x-1)^2Q(x)+a(x-1) [因数分解できます.]
x^(n-1)+x^(n-2)+…+x+1=(x-1)Q(x)+a
x=1のとき, 剰余定理からn[1がn個ある.]=a. これからn=1の結果を含めることが出来る.
n=1のときa=0なので余りはn(x-1)+1=nx+(1-n)である.
***
[別解] 2項定理を使う
n=1のとき, 余りはx
n≧2のとき
x^n={(x-1)+1}^n=Σ[k=0->n]C(n, k)(x-1)^k
={Σ[k=2->n]C(n, k)(x-1)^k}+C(n, 1)(x-1)+C(n, 0)
={Σ[k=2->n]C(n, k)(x-1)^k}+n(x-1)+1
と展開することが出来る.
{Σ[k=2->n]C(n, k)(x-1)^k}は(x-1)^2を共通因数に持つから, 余りはnx+(1-n)
これはn=1を含めることが出来る.
***
[解3] 微分を利用する[習っている場合]
x^nを(x-1)^2で割った余りは高々1次式である. 商をQ(x)とすると
x^n=(x-1)^2Q(x)+ax+b
と書くことが出来る.
両辺を微分すると
nx^(n-1)=2(x-1)Q(x)+(x-1)^2Q'(x)+a
⇔nx^(n-1)=(x-1){2Q(x)+(x-1)Q'(x)}+a [積の微分法]
x=1のとき, 1=a+b[商, 余りの関係], n=a[微分された関係]なので, 余りはnx+(1-n)

LUX SIT

[訂正]
[解1] 最後の行の「n=1のときa=0なので」は削除してください.
[別解]->[解2]