Question

あめ

練習1.1から1.4の解き方を教えて頂きたいです！！
全て回答して頂かなくても大丈夫です！
よろしくお願い致します。

練習 1.1. 次を示せ.

(1) 攻。王恨り{= =ニーoo) とする. g.5と太に対してg@ち=max (g、) で, ae Rx に対して
はoc@'=ニ=の"ooで演算 お を定義し, og.0と民に対してgo@'5ーqg十50で, oeと区< に対
してqニcaーェで演算 @' を定義する. そのとき (Rs。,お,のeg,e 三 0) は半環となる
ことを示せ.

(2) エ を集合として 9 = 2Y とおく. ぐにおいて 4 と ぐにおいて 4おニー 4U太および
4@刀=ニ4nロと定義する. そのとき⑤の単位元はょニ0であり, @ の単位元はeニバ であ
る. そのとき (S.U.n.0.X) は可換半環であり, U.n とも警等である.

練習 1.2. (1.1) を示せ.
行列 4 = (qヵ) 6 Rm が置換行列であるとは, ある置換re $。があって

。 Jo 6=zの
"| (その他)

となっていることである. このように表される行列4を有e RW に左からかけることは, 戸のi

行目を ァー!(⑰) 行目に移すことを表す. 同様に, 4をのcRWXY に右からかけることは, 〇の7列目

min

を()) 列目に移すことを表す. 言い換えると上記の置換行列 4と及とRW Ce RW" に対して,

min     min
次が成り立つ.
が    が①
4@  が  目  0    (ee nt)@4ニ(eyeの"memn(Oの"(12)

練習 1.3. (1.2) を示せ.

定理 1.2. 4eR に対して

は2。 = mintwt(P)|Pとの)

が成り立つ. 特に[4S]。ニとのときはの(』寺人) 0 であり, G(4) において から)への長さたの
道 (歩道) ) が存在しない.

練習 1.4. 定理 1.2 を示せ.

演算 半環 単位元 置換行列 平均の重み 最小平均閉路重み