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2行目の式は等比数列になっていないので，当然等比数列の解法を適用することはできません。
等比数列は
A[n+1]=r･A[n] (r:定数) のような形(公比が一定)のことを言います。
今回の問題ですと
a[n+1]=2a[n]+2ⁿ
⇔
a[n+1]−(n+1)･2ⁿ=2(a[n]−n･2ⁿ⁻¹)
と変形すれば，数列｛a[n]−n･2ⁿ⁻¹｝は初項0，公比2の等比数列になるので
a[n]−n･2ⁿ⁻¹=0･2ⁿ⁻¹
⇔
a[n]=n･2ⁿ⁻¹ となります。😀
はい，左辺が a[n+1]+2ⁿ であれば等比数列になります。😀
左辺が an+1 + 2n になっていれば、可能ですよね。