Question

傍心

微分の質問です。

こちらの問題なのですが、
(2)で定数分離をしてグラフを書いて、いざどこが該当範囲であるかを確認しようとした際、
私は問題文より、
・三重解の場合も、重解と単根の場合も、全部単根の場合もある
→tは全ての実数だ
としましたが、実際には違いました。

私の考え方は、どこが間違っているのでしょうか？
そこが分からないので教えていただきたいです。
よろしくお願い致します。

の(メーの(メーc) において, cg, 5 cは goミ0ミの
3, の十6*十c?三27 を満たす定数で, cpc三7 とする.
(x) を7 を用いて表せ.

の値の範囲求めよ.
)ニ0 の解がすべて整数であるとき, c.ム  c の値を求めよ.
テ                                              (明治学院大・改)

od   誠
(①) /G)り=ニャー(2寺5の

である.
g十5十

s+(Z6二0c十cg)メー6c

①⑪,。の+が寺e三27 由記
2(g6+0c寺              寺6+のニー (Z+の+の9
2(g5二6c二cg)ニー18
たちで症HOcCZ三m9②   2
また, g6cニであるから, (ぷーター8一9
(⑫) 7(@)=(xーのマーの(ーc) より, の cは
プ(*)ニ0 の 3 つの実数解である.
ここで, プア(%)=ニター3z2ー9ァ一7王0 とすると,
ター3ァ?一9ァ三た
族入Wiyニ8結8が4一9⑧, = とおく.
を微分すると,
アー3x*一6一9王3(ァ寺1)(ー3)
ダー0 とすると, ァーー1, 3
より, ③の増減表は下のよう
になる.
開陳下車| 3
+| 0 |-|0 は
極大| 、 |極小
|  5  さ ー27
=のグラフはx軸に平
である.
*, 3次関数と直線 ッニ/ のグラフは上のよう
ー0 が3つの実数解をもつ7の値の範囲

   

 

ツ4 ッニダー3ー9z

  
  
  
              
                                    
 
  

 

3

 

 

 

の

 

 

 

 

 

 

 

 

 

</<5

W (2十6二の)*
ニのが+c*
25二20c+2。
より,
2gの十20c十2cg
ー(2二6の)*ー(の+が+。9

| 2ミ2c より, 異なる3つ

 

の実数解ではない.

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

HS

曲線と、直線y=tが3点で交わるのが条件です。

たとえばt=1のとき、異なる3点で交わります。
tが2,3,4,…と、5に近づくにつれ、
左2つは近づきますが、まだ異なる3点です。

t=5のとき、見た目2点ですが、
山の頂上の1点は2点が重なったもので、
これを2点カウントすれば、最右の点と合わせて3点です。
ここまではおわかりと思います。

t>5では1点でしか交わっていません。
これは点が重なって1点に見えているのではありません。
重解でも3重解でもありません。
この状態は条件を満たしていません。

傍心

教えてくださってありがとうございます。

重解の理解が甘かったことに気がつけました！

何度もお聞きしてしまってすみません。
t＞5 、t＜-27の時と言うのは、1つの実数解と異なる2つの虚数解を持つということでしょうか？

HS

その通りです。

傍心

分かりました！
何度もすみません。ありがとうございます。

Answer 2

tomato-juice

三重解を持つグラフは、画像の左上側のようなグラフになります。画像右側の、重解と単根を持つ、全ての解が単根であるグラフとは異なるので、そこで判断ができると思います。

ただし、1つの解だけを持つグラフ(画像左下側)と三重解を持つグラフは似てるので、注意してください！

傍心

毎回ご丁寧に教えていただきましてありがとうございます。

三次方程式の解の分類がしっかりできていませんでした！！

今回の問題で定数分離をした後に書いたグラフが、
もしy=x^3-xだったら、t=0で3重解になったはず、ということですよね。
極値を1つでも持っていたら3次関数で3重解は持てないですよね。