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標準形で表示出来るのは長軸・短軸がx軸, y軸にあるときです.
x^2-xy+y^2=3の長軸・短軸はy=±xなので不可能です.
標準形にするためには±45°回転させてやる必要があります.
[詳しくは線形代数の2次形式の項で学びます. 1次変換を知っていれば回転行列を利用すればいいです.]
現行の知識で考えるならば
x^2-xy+y^2=3はxとyを取り換えても不変である.
楕円の対称性から軸はy=±xである.
y=xとの交点はx^2-x^2+x^2=3⇔x=±√3なので(±√3, ±√3) [複号同順]
y=-xとの交点はx^2-x(-x)+(-x)^2=3⇔x=±1なので(±1, ∓1) [複号同順]
なので短軸の長さは√2, 長軸の長さは2√3である.
標準形になおすと(x^2/12)+(y^2/2)=1
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他には平方完成してから考察する方法もあります.
[訂正]
長軸の長さは√3*√2=√6です.
面積はπ(√6)(√2)=2√3πで解答の積分結果と一致しています.
別解の方も述べておきましょう.
平方完成すると
(x-y/2)^2+(√3y/2)^2=3
{(x-y/2)/√3}^2+(y/2)^2=1
からx-y/2=√3cosθ, y/2=sinθ
と媒介変数表示できます.
y=2sinθからx=√3cosθ+sinθが得られます.
dx/dθ, dy/dθ, d^2x/dθ^2, d^2y/dθ^2を計算すれば概形を得ることが出来ます.
この赤線部から下が理解できませんでした。
どのようにして赤線部の上の式などから
短軸と長軸を求めたのかを教えて頂きたいです。
手間を取らせてしまい本当に申し訳ないです。
よろしくお願いします。
論理的な繋がりが掴めてないのでしょうね.
①関数f(x, y)=0の対称性を探ります.
f(x, y)=0とf(y, x)=0が同じ形⇔y=xで対称
f(x, y)=0とf(-y, -x)=0が同じ形⇔y=-xで対称 [短軸と長軸が垂直であることを理由にしてもよいでしょう.]
さらにf(x, y)=0, f(-x, -y)=0が同じ形⇔原点対称 [これを書き忘れました.]
[特に東大は平行移動や対称性の理解を要求します.
これはデータ解析をする時, 計算しやすい座標軸で計算して元に戻す操作をするからです.
平行移動に関しては2018, 2019の文系第4問を解くといい勉強になりますよ].
***
②楕円は短軸・長軸のみが対称軸になり得ます.
①とあわせるとy=±x上に短軸・長軸のいずれかがある, と結論できます.
***
③y=±xと連立させることでa, b[原点対称なので原点からの距離を計算する]が定まります.
[訂正]
赤線の下ですが
a, bと長軸(2a)・短軸(2b)の長さを混同していますね.
『a=√6(2a=2√6), b=√2(2b=2√2)
楕円で囲まれる面積はπab=2√3π』
の意味で書いた, と読み替えてください.
回答ありがとうございます！
実際の問題は1枚目の写真の通りなのですが
解説を見たところ楕円であることが分かり、
楕円の面積の公式のS＝πabを用いて計算したかったのですが、、
どうしても1枚目の式から上手く2枚目の図のような楕円が描けなかったので質問させて頂きました。
1枚目の写真の式から2枚目の写真の図を描く良い方法はありますでしょうか？
よろしくお願いします。