Question

なず

この固有値の問題の解答ですが、赤い部分がわかりません。どうやって0にしたんですか？

よろしくお願いします。

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[6Cー05]  対行列 4ー( ) について以下の問いに答えよ。ただし, 6, 2お

よびcは実数であり, また, 2キ0 である。
(1) 実数の固有値が 2 個存在することを示せ。
(2) 相異なる固有値に属する固有ベクトルが互いに直交することを示せ。

[6C一05] (固有値・固有ベクトル)
|     較三全 めぬ
ら 。 c一7
=ー(g一の(c二のり一ゲニゲー(g十の)7填gc一が
判別式 :

のーテ(g十c)*ー4(gc一の)ニgのツー2gc十c*十4が
=(g一c)*十4が>0 (… 620)

よって, 異なる 2 つの実数の固有値が存在す
る。

(2) だ一(g十c)7填gc一ゲテ0 の異なる2つ

の実数解を 4, 4。 とする。

(i) 固有値 4, に対する固有ベクトル

_/g-4 2 )./g-4 6
4 和員

(g一4J)x十0yテ0
よって, 固有ベクトルは

tc

(ii) 固有値 4。 に対する固有ベクトル

_/9-44。 5 \ 、/g一24。 5
4 (環還昌

。 (g一4)ァ十のリッテ0
よって, 固有ベクトルは

0-(つ) eo

よって

=の    ノ
(5)
テゲ十(g一れ)(g一42)
=テの十〆ーg(和4れ十2)十42
と 4A。 お 全
だー(g十c)7上gc一ゲテ0
の解だから, 解と係数の関係より
れれ十25三g十c, 人れ4三gc一
したがって

し)
は    6一4
の十〆ーg(和れ十2)十45
=の十の〆ーg(g十c)十gc一7の=0

ーム5     =ーの
国宝る   (2)
すなわち, 相異なる固有値に属する固有ベク
トルは互いに直交する。

1

 

(1) 14一契|=

線形代数 固有値 固有ベクトル 掃き出し法 直交

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

バンダースナッチ

正則行列ではないならば、どこかの行がどこかの行達を用いて表現可能です。2次の場合、第1行と第2行しかないのと、固有値を入れてる時点で正則行列で無くなっているので、どちらか1行が削除できる。というところだと思います

なず

回答ありがとうございます。

そういうことなんですね。一つ削除できる行があるのは納得しました。どちらか一行削除できるのなら、後で二行目を削除して解いでも同じになるか試してみます。

それからまた質問があります。なぜ一行目がそのまんまで、(a-λ 0)ではなく、(0 λ)でもないんですか？

バンダースナッチ

先も言ったように、固有値を突っ込んだ行列は正則ではなく、2行目は1行目の定数倍で書けるので、行基本変形を施せば、残るのは解答にある形です。もうこれ以上何もしようがありません。また、問題の前提からb≠0なので、質問者さんの言うようにはならないということです。

なず

あ、定数倍ですね。よく考えたらたしかに。こういう問題初めて見るので理解力が足りなくてすみません。

バンダースナッチ

正則行列にせよ、ある特徴の行列の条件はそれを否定すれば特徴のない行列の条件になります。言われりゃ「そりゃそうだろ！」って感じなんですが、条件暗唱みたいになってると見落としがちなので、そういうのを注意していくと、より問題が解きやすくなるだけでなく、理解も深まるので、正念場と思って頑張ってください。