Question

ゲスト

cos7π/4は負の値にならないのですか？

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

sticheck

なりません √2/2です
単位円なるものを調べてみるといいと思います 理解しやすいです

ちなみにナビエストークス方程式あります

流体の質量と運動量の保存則を表す連続の方程式

∂
ρ
∂
t
+
div
⁡
(
ρ
v
)
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\operatorname {div} (\rho {\boldsymbol {v}})=0}

∂
(
ρ
v
)
∂
t
+
div
⁡
(
ρ
v
v
)
=
div
⁡
σ
+
ρ
g
{\displaystyle {\frac {\partial (\rho {\boldsymbol {v}})}{\partial t}}+\operatorname {div} (\rho {\boldsymbol {v}}{\boldsymbol {v}})=\operatorname {div} {\boldsymbol {\sigma }}+\rho {\boldsymbol {g}}}

から、流れの速度場 v のラグランジュ微分は

D
v
D
t
=
∂
v
∂
t
+
(
v
⋅
∇
)
v
=
1
ρ
div
⁡
σ
+
g
{\displaystyle {\frac {D{\boldsymbol {v}}}{Dt}}={\frac {\partial {\boldsymbol {v}}}{\partial t}}+({\boldsymbol {v}}\cdot \nabla ){\boldsymbol {v}}={\frac {1}{\rho }}\operatorname {div} {\boldsymbol {\sigma }}+{\boldsymbol {g}}}

と導かれる。ここで ρ は密度場で、σ は応力場、g は流体の質量あたりに作用する外力場（加速度場）である。

ニュートン流体を仮定すれば、応力場が

σ
=
(
−
p
+
χ
Θ
)
1
+
μ
(
e
−
2
3
Θ
1
)
=
(
−
p
+
λ
Θ
)
1
+
μ
e
{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\left(-p+\chi \Theta \right)\mathbf {1} +\mu \left({\boldsymbol {e}}-{\frac {2}{3}}\,\Theta \,\mathbf {1} \right)=(-p+\lambda \Theta )\mathbf {1} +\mu {\boldsymbol {e}}}

で与えられる。ここで p は圧力（静圧）で、χ は体積粘性率、μ は剪断粘性率である。e は対称化した速度勾配で、デカルト座標の下で成分表示をすれば

e
a
b
=
∂
v
a
∂
x
b
+
∂
v
b
∂
x
a
{\displaystyle e_{ab}={\frac {\partial v_{a}}{\partial x_{b}}}+{\frac {\partial v_{b}}{\partial x_{a}}}}

で表され、Θ は速度場の発散

Θ
=
div
⁡
v
=
1
2
tr
⁡
e
{\displaystyle \Theta =\operatorname {div} {\boldsymbol {v}}={\frac {1}{2}}\operatorname {tr} {\boldsymbol {e}}}

である。

この形の応力場を用いると、速度場のラグランジュ微分が

D
v
D
t
= −
1
ρ
grad⁡p+
μ
ρ
△
v
+
λ
+
μ
ρ
grad⁡Θ+
Θ
ρ
grad⁡(λ+μ) +
1
ρ
grad⁡(
v
⋅grad⁡μ)+
1
ρ
rot⁡(
v
×grad⁡μ)−
1
ρ
v
△μ+
g

{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {D{\boldsymbol {v}}}{Dt}}=&-{\frac {1}{\rho }}\operatorname {grad} p+{\frac {\mu }{\rho }}\triangle {\boldsymbol {v}}+{\frac {\lambda +\mu }{\rho }}\operatorname {grad} \Theta +{\frac {\Theta }{\rho }}\operatorname {grad} (\lambda +\mu )\\&+{\frac {1}{\rho }}\operatorname {grad} ({\boldsymbol {v}}\cdot \operatorname {grad} \mu )+{\frac {1}{\rho }}\operatorname {rot} ({\boldsymbol {v}}\times \operatorname {grad} \mu )-{\frac {1}{\rho }}\,{\boldsymbol {v}}\triangle \mu +{\boldsymbol {g}}\\\end{aligned}}}

で与えられる。この方程式がナビエ–ストークス方程式である。

速度場のラグランジュ微分の第二項は対流項（移流項）と呼ばれる。対流項はベクトル解析の公式により

(
v
⋅
∇
)
v
=
grad
⁡
(
1
2
v
2
)
−
v
×
ω
{\displaystyle ({\boldsymbol {v}}\cdot \nabla ){\boldsymbol {v}}=\operatorname {grad} \left({\frac {1}{2}}{\boldsymbol {v}}^{2}\right)-{\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {\omega }}}

と変形することができる。ここで ω は速度場の回転

ω
=
rot
⁡
v
{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\operatorname {rot} {\boldsymbol {v}}}

であり、渦度と呼ばれる。

ゲスト

ありがとうございます！