✨ ベストアンサー ✨
積分区間が逆ですね。
今はtを変数として積分してるのだから0からπ/2で積分しないといけません！
図形の点が左に行こうが何の関係もありません。
そもそもy=xの関数で直接表示されないので。
ちなみに三枚目ですが、Xが０から4で積分しています、これを媒介変数tに対応させたら、x=0がt=2に対応しています。だから積分の方向はX軸正の方向に積分しています。
つまり、一度xで表示してそれをtに変換してるから積分方向が変わったように見えるだけです。
１枚目では最初から媒介変数で考えてるので、そのまま素直にtで積分するだけですよね。
回答ありがとうございます。
そうなんですけど。でも画像3の問題は媒介変数じゃなくxの正方向で積分してます。なんでこの問題と違うんでしょうね。もしかして表面積の積分と普通の面積の積分との違いなのかな？
その違いですよね。
なるほど。なんかよく考えたらちょっと言ってることがわかってきたような気がします。
三枚目の問題は∫ydxから立式するのでxの正方向、質問の問題は∫…。もうちょっと考えたら質問の問題も実はyの入った式。それともyのほうを見るんじゃなくてdxなのかdtを見る。そのような気がします。でも実は表面積積分のdtの入った式が本に出てないんですけどね。
前回答を見て変に思ってたことを思い出しました。本の表面積公式は
∫ 2πy √(1+(dy/dx)^2) dx で
本の回答に出てきた式は
∫ 2πy √((dx/dt)^2+(dy/dt)^2) dt
です。もし前者のdxの公式で立式するなら、xの正方向で積分するんでしょうね。後で書いてみたいと思います。
だから左周りが正の向きなんですよ。
この問題はアステロイドなんで、閉曲線ですよね。
あ、そうですね。以前の記憶が呼び覚まされました。でも右回りが正の向きにもなりえそうな気がしますね。今そのtに関する増減表を散々書いたのでこのページでなんで左回りが正の方向だと言っているのか多分わかります。それは円のような媒介変数の式にほぼsinθ、cosθで、極座標θ角が増加する方向が左回りだからです。もしsin(-θ)のような、θが0から増加するとき、左回りへ移動しない式だったら、その領域の正方向は左回りじゃないと思います。これは主にtに関する増減表を書いてtが増加する方向を見ればその方向が正方向だとわかります。
いつも中途半端な知識でコメントしてすいません。(;ﾟロﾟ)
まだまだ学習が大学２年レベルには程遠いので(;ﾟロﾟ)
まだ１年レベルのマセマも途中ですが、最近は真面目に読み進めてます。偏微分の最初まで来ました。
でも全微分、ヤコビアン、重積分と新入生殺しの三兄弟が手強くて苦戦してます！
いえいえ、おかげで解決できたので大丈夫です。偏微分重積分がんばってください。私はチェンルールを使う抽象関数の証明問題に苦戦してますね。近々練習しようと思っています。問題の数がちょっと少なすぎて解き方がつかめないんですけど。
今書いてみました。私の考えは正しかったようです。公式の最後にあるのがdxなのかdtなのかを見て、積分の方向はxの正方向なのかyなのかを決めるんです。
なんか見過ごしたコメントがありました。哲治さんがもう言ってたんですね。
いや、見落としたコメント、でした
積分がx軸正の方向なのはY=Xの関数で陽関数表示されてる場合のみですね。
媒介変数表示された陰関数はあくまでも媒介変数の数字が増える方向に積分しないといけません。
今回もtはゼロからπ/2なんでその方向に積分しないとダメですよね。