Question

なず

ケーリー・ハミルトン定理でn次の行列を求める問題(画像1)の解説にわからないところがあります。

画像1の矢印のところですが、余りの置き方が理解できません。どうしてaとbのところはただのtじゃなくて、(t-1)ですか？

前の問題(画像2)の余りは直接pxで、p(x-1)とかはありませんでした。

よろしくお願いします。

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例題3 (ケーリー・ハミルトンの定理)

次の行列について, 以下の問いに答えよ。

   
                                                                                                                                                                                                                                                                 

 

1) 14一厄| を
(2) を求めよ。

 

 

 

[胡 説| 次のケーリー・ハミルトンの定理を利用する。
4 の固有多項式を7//の とするとき, (4)=O
1-7 0    0
1 2-z 1
0     0 1-:
=テーの*(2一のテー一2⑦ー2の2 ……〔答〕
(2) ケーリー・ハミルトンの定理より, (4ーの*(4一2のめ=O
が=(に1一2の9(の二g(7一1)7十6⑦7ー)十ce ……(*) とおく。
(*) に7王1 を代入すると c=1, 7王2 を代入すると g十5十c王2
(*) の両辺を微分すると
2コー2(7一1D(7ー29(の圭一179(の0二⑦ー1)2⑦ー2)97(⑦の
十22(⑰ー1)十り
これに71 を代入すると, 5テ=ァ
よって, g三2"ーみ一1, 5三2 c三1 となり
*テ(ーーの9(の圭(2"ーター1)(⑦一1)7二(7ー1)十1
したがって, (4一の*(4 一2お) 0 に注意して
水三(2*ーターー1)(4一が?十z(4一ぢ)十ど

0 0 0Y  0 0 0   1 0 0
ee 1 りり 1 り 1 リり
0 0 0   0 0 0   0 0 1
1  0  0
(m | |王
0  0  1

 

 

 

 

 

 

 

 

解答] (1) |4一7/|=

例題17一5 (行列のヵ乗②)

 
  

 
  
     

3 一2
行列4=( 「 ) について次問いに答えよ。

(1) "を “ーー3x十2 TORD を求めよ。     (2) 4 を求めよ。

                                                                                                                                                                                                                                                                        

ンク

の2222202222222222222222222グ2

[ 説   行列4 の』乗をケーリー・    ve3ルhig本  iでNRる
とができる。このとき, 本 すことに注意しよう。 しicがっ
整式の割り算を復習しておくことも大切である(第19章を参照)。

[静等] (1) *" を一8x十2 で割った商を 2?), 余りをヵz十9 とすると

ダニ"ー8z十2)9(x)十pxの 除法の原理 SN
2"ー(メー1)(Xー2)9(?) 十px十g
ァー1 を代入すると, ヵ二9テモ1 ……①
ァー2 を代入すると, 2p二9の=27 ……②
②-① より, ヵ=テ27一1
) ①x1--② より, g=ー2?十2
よって, 求める余りは, (2*ー1)z二(一2"二2) ……【答)
(2) 1⑪)の結果より
三(ヶ一3z十2)g(y)十2"一1)z十(一2?十2)
これから次の等式が成り立つことが分かる。
生=ニー34 十2)9(4)十(2②"ー1)4十(一2*十2)万
ところで, ケーリー・ハミルトンの定理より
4オー34十2ぢ=O
であるから
オー(2*ー1)4十(一2"十の)万

3 一2           1 0
王 2一            ーウか
1   D(:   リバ  1  リ

2ポー1 一2"十2
=(  。             )  PPPPFP〔答〕
2"ー1 一2"十2

ググググ

0
Nm

ケーリー・ハミルトン定理 行列 除法の原理

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

哲治

実質は高校時代の因数定理、剰余定理の問題ですね。
後半は未知数二個に式も二個だからそのまま素直に立式して代入して終わり。簡単ですよね。
でも前半は(t-1)^2のように２乗で割るパターンは微分した式に代入しないといけなかったですよね。
その時にただのtだとg(t)とかg‘(t)が残って解けないからt=1
を代入したときに消えるようにしています。

哲治

tでもt-1でも本質は同じで係数で調整になるだけなんで、t-1で考えても自由なんです。

なず

回答ありがとうございます！
tでもt-1でもいいということですね。tで置いて解いてみます。
t-1で考えるのなら、g(t)もg(t-1)と書かなければならない気がしますが、実際どうなのかよくわからないですね。

哲治

g(t)のtはgが変数tの関数という意味なんで、g(t)で構いません。

哲治

t-1で考えないとg(t)が分からないので解けません。

なず

ありがとうございます。なるほど、関数の意味ですね、確かに。

tで考えてもg(t)の前の係数(t-1)²(t-2)は変わらないので、同じくg(t)を消せるから解けると思いますよ。今解いて、ツールでt^nを整理して見て回答と同じです。

哲治

そのようですね！
まあ計算の簡略化にはなりますよね。