β-γとγ-βの図形的な関係を考えてみてください.
γ-β=-(β-γ)なので原点対称であることが分かります.
これは原点を中心に(±)πだけ回転させたことと同じなので矢印のように変形できるわけです.
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数III複素数の問題は
*立ち止まって図形的な意味を考えてみる
*大きさや回転角から極座標であえて考える(de Moivreの定理が強力なパートナー)
*実数・純虚数条件のような特殊状況をうまく使う(複素共役が重要な鍵です)
そうすると汚くて複雑な成分計算(これは最終手段です)から逃れることが出来ます.
偏角の意味を考えてみることです.
複素数z=re^iθ(r>0, 0≦θ<2π)が
arg(z)=θ=πというのはz=r(cosπ+isinπ)=-r<0なので負の実数
arg(z)=θ=0というのはz=r(cos0=isin0)=r>0なので正の実数
zと-zの関係は上で解説した通りです.
偏角に実数という概念があると言うのがいまいちピンときてません
偏角はあくまでもx軸とのなす角なのにどうしてなのでしょうか？
もっと正確に言うと
θ=0のときはx軸正の方向(正の実数を表す)と一致
θ=πのときはx軸負の方向(負の実数を表す)と一致
している. これだと納得できるでしょうか?
解答はそれを説明しているのだと思います.
[訂正] x軸->実軸Re(z)です.
もし上の説明で分からないのなら偏角の定義と極座標との対応がまったく分かっていないのが原因です.
教科書や参考書を丹念に読み直してみましょう.
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[基礎の基礎から]
複素数zは実数x, yとi^2=-1となるiを用いた線型結合z=x+yiで表されるような数である.
複素平面はx=Re(z)を実軸, y=Im(z)を虚軸としてR^2に対応させたものである.
複素数zの絶対値|z|=|zz*|^(1/2)=√(x^2+y^2)で与えられる.
複素平面で|z|はその図形的な意味から動径rとして表す.
"正の実軸から"原点Oとzを結んだ線分のなす角を偏角θと定義する. なお反時計回りを正にとる.
このときz=re^(iθ)=r(cosθ+isinθ)と表される. これを極形式という.
複素平面との対応はz=x+iy=rcosθ+irsinθと見比べればx=rcosθ, y=rsinθと分かる.
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偏角θ=0というのは定義から正の実軸となす角が0ということである.
そのようなある複素数zは正の実軸上のある1点を表す(rが任意のときは正の実数全体).
偏角θ=πというのは定義から正の実軸から反時計回りにπ回転させたということである.
そのようなある複素数zは負の実軸上のある1点を表す(rが任意のときは負の実数全体).
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自分で図を書いてよく考えてみてください.
ご丁寧に説明して頂き本当にありがとうございました😊
教科書を今一度確認します
右側にこのような記述があり余計混乱しまして‥
DoyourBest さんのご説明でなんとなくイメージがつきましたがこの記述部分はなぜわかるのでしょうす？