部分空間の条件
(1) (0,0,0)∈W
(2) v,w∈W ⇒ v+w∈W
(3) v∈W, a∈ℝ ⇒ av∈W
が成り立つための条件を考えればよいです
はい、了解です
d1=d2=d3=0ですか？
やはりよくわからないので教えてください。
昨日は忙しかったので返信できませんでした
順番に考えます
(1)(0,0,0)∈W
(x+1,y,z)=(0,0,0) とすると
(x,y,z)=(-1,0,0)
なので (-1,0,0) が(*)を満たしている必要があります
⎛ a₁ b₁ c₁ ⎞⎛ -1 ⎞ ⎛ d₁ ⎞
⎜ a₂ b₂ c₂ ⎟⎜ 0 ⎟＝⎜ d₂ ⎟
⎝ a₃ b₂ c₃ ⎠⎝ 0 ⎠ ⎝ d₃ ⎠
より
d₁=-a₁, d₂=-a₂, d₃=-a₃
となります
実は、これさえ成り立てば残りの(2)(3)は自動的に成立します
(2)v,w∈W ⇒ v+w∈W
(x+1,y,z)∈W, (x'+1,y',z')∈W のとき
(x+x'+2,y+y',z+z')∈W
が成り立つことを確認します。これは、(x,y,z), (x',y',z')が(*)を満たすとき(x+x'+1,y+y',z+z')も(*)を満たすことを示せばよいです
以下、表記を簡単にするために
⎛ a₁ b₁ c₁ ⎞
⎜ a₂ b₂ c₂ ⎟＝A
⎝ a₃ b₂ c₃ ⎠
とおきます
実際に計算してみると
⎛ x+x'+1 ⎞
A⎜ y+y' ⎟
⎝ z+z' ⎠
⎛x⎞ ⎛x'⎞ ⎛1 ⎞
＝A⎜y⎟+A⎜y'⎟+A⎜0⎟
⎝z⎠ ⎝z'⎠ ⎝0⎠
⎛d₁ ⎞ ⎛d₁ ⎞ ⎛a₁ ⎞
＝⎜d₂⎟+⎜d₂⎟+⎜a₂⎟
⎝d₃ ⎠ ⎝d₃⎠ ⎝a₃ ⎠
⎛d₁ ⎞
＝⎜d₂⎟
⎝d₃ ⎠
より(x+x'+1,y+y',z+z')も(*)の解になっています
(3)v∈W,a∈ℝ ⇒ av∈W
(x+1,y,z)∈W のとき (ax+a,ay,az)∈W
が成り立つことを確認します。これは、(x,y,z)が(*)を満たすとき(ax+a-1,ay,az)も(*)を満たすことを示せばよいです
実際に計算してみると
⎛ ax+a-1 ⎞
A⎜ ay ⎟
⎝ az ⎠
⎛x⎞ ⎛a-1⎞
＝aA⎜y⎟+A⎜ 0 ⎟
⎝z⎠ ⎝ 0 ⎠
⎛d₁ ⎞ ⎛a₁ ⎞
＝a⎜d₂⎟+(a-1)⎜a₂⎟
⎝ d₃⎠ ⎝a₃⎠
⎛d₁ ⎞
＝⎜d₂⎟
⎝d₃ ⎠
より(ax+a-1,ay,az)も(*)の解になっています
ありがとうございます
考えてみます。
分からなければまた教えてください