前置きが非常に長いので、はしょる場合は「ということで」〜確認してみてください！
√7は無理数と言って小数点以下が永遠に続く数であるため、数直線でピンポイントに表すことができません。
そこで「√7はbとcの間にある数字」という考え方が出てきて、b < √7< c のように不等号を使って表します。
bとcは何だろうと考えると、√7前後でルートが外れるのは√4=2、√9=3で、2<√7<3になります。
この後、不等式全体に2をかけて、
4<2√7<6
不等式全体を-3して、
1 <2√7-3<3
2√7-3が1から3の間にあるのは分かります。
ただ、これでは2√7-3の整数部分が1か2のどちらか分かりません。
(やっと前置き終わり...)
ということで2√7-3が2より大きいか調べてみます。5-3=2なので、2√7は5より大きいか、つまり√7は2.5より大きいか分かればいいというわけです。2.5を√に直すと√(2.5)の2乗で√6.25になり、√7が2.5より大きい=2√7-3は2より大きいことが分かりました。
2<2√7-3<3となることが確定しました。
これ以降は質問画像にある解説の通りです。
