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(1)直線に沿って近づければ0ですが、x+yが急速に0に近づくように極限を取れば分母の方が分子より早く0に近づくため極限が変わってきそうです。というわけで収束しないと予想して解いていきます
(解)
直線 y=0 に沿って極限をとると
xy/(x+y)＝x×0/(x+0)
＝0
→0 (x→0)
一方、放物線 y=-x+x² に沿って極限をとると
xy/(x+y)＝x(-x+x²)/x²
＝-1+x
→-1 (x→0)
したがって、極限が一意に定まらないため極限値は存在しない ◻︎
(2)こっちは分母が0以上かつ分子より次数が小さいので収束しそうです。なので極座標変換します
(解)
x=rcosθ, y=rsinθ とおくと、(x,y)→(0,0)のときr→0で
(2x³-y³)/(4x²+y²)
＝r³(2cos³θ-sin³θ) / r²(4cos²θ+sin²θ)
＝r(2cos³θ-sin³θ)/(3cos²θ+1)
よって、
|(2x³-y³)/(4x²+y²)|
＝r|(2cos³θ-sin³θ)/(3cos²θ+1)|
≦ r×(3/1)
→0 (r→0)
ゆえに、
lim (2x³-y³)/(4x²+y²) ＝ 0
(x,y)→(0,0)
いえいえ(｀・ω・´)
参考になったならよかったです
ありがとうございます。
感謝しています