Question

はーふ

この時の→APを→aと→bを使って表せという問題です。
教えてください！！！

ベクトル 位置ベクトル

Answer 1

さい先生

ベクトルの観点から解くとこんな感じでしょうか。

Answer 2

LUX SIT

六角形ABCDEFが正六角形でないと問題が成り立ちません. そういうことでよろしいでしょうか?
この問題の難所はバラバラのパーツをどう答案に仕上げるのか, という点でしょう.
***
正六角形の対辺は1点Oで交わり, 各頂点とOを結んで得られる三角形はすべて正三角形である.
したがってAD=2AO=2(AB+AF)=2(a+b)と表せる.
点Pは辺DFを内分する点で|DP|=x, |PF|=1-xとするとAP=(1-x)AD+xAFで表せる.
一方, 六角形の内角は180°*(6-2)/6=120°であり, △CDEと△DEFが二等辺三角形であることから
∠DEF=∠EFD=∠DEP=∠EDPなので△PDE∽△DEFをいえる[ここが分からなかったら平面幾何の勉強不足です. 復習しよう].
ここで正六角形の1辺は正弦定理からDF/sin(120°)=EF/sin(30°)⇔EF=sin(30°)/sin(120°)=1/√3である.
また上の相似からDP/DE=EF/DF⇔x/(1/√3)=(1/√3)/1⇔x=1/3と定まる.
以上の結果をまとめて
AP=(1-(1/3))AD+(1/3)AF=(2/3)*{2(a+b)}+b/3=(4/3)a+(5/3)b.
と書けることが分かった.

LUX SIT

[コメント]
内分点の表し方を習っていない場合は
AP=AF+FP=AF+(1-x)FP=AF+(1-x)AC[□ACDFは長方形]
=AF+(1-x)(AB+BC)=AF+(1-x)(AB+AO)[□ABCOは平行四辺形]
=AF+(1-x)(AB+AB+AF)
=2(1-x)AB+(2-x)AF
=(4/3)a+(5/3)b [x=1/3は上の相似から求めた結果を利用する.]
と答えるといいでしょう.
***
平面上のベクトルの一意性に着目する場合は, さい先生のアプローチになりますが
□ABCOが平行四辺形なので
AC=AB+BC=AB+AO=AB+(AB+AF)=2AB+AF=2a+b
同様に□AFEOが平行四辺形なので
AE=AF+FE=AF+AO=AF+(AB+AF)=AB+2AF=a+2b
と図形的な考察を入れないと(少なくとも大学入試なら)減点されると思います.
あとは△CDE, △DEF, △DPEが二等辺三角形であることからCE=DF=1, DP=PE=xとするとCP=PF=1-x
と説明をする必要があります[これが面倒なので私はこの解法を避けたわけですが...].
「a, bは平行ではなく0ベクトルではない」は「a, bは平面上の1次(線形)独立[現行では習わないのでしょうか?]なベクトルなので表示は一意である.
したがって係数比較が出来る.」と書いたほうが明快だと思います.