✨ ベストアンサー ✨
必要条件の証明は自明で, 問題は十分条件のみです.
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まずは代数的に証明してみます.
等式が成り立つためには
r_1*cosθ_1=r_2*cosθ_2かつsinθ_1=sinθ_2
後者の条件からθ_1=θ_2+2nπ or (πーθ_2)+2nπ [sin(π-θ)=sinθ]
ここでθ_1=(πーθ_2)+2nπのとき, r_1*cos{(πーθ_2)+2nπ}=r_2*cosθ_2
⇔-r_1*cosθ=r_2*cosθ [cos(π-θ)=-cosθ]
⇔-r_1=r_2
となるがr_1>0, r_2>0なので不合理.
したがってθ_1=θ_2+2nπに限られ, このときr_1*cosθ_1=r_2*cosθ_1⇔r_1=r_2.
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複素平面で意味を持つのは
z=wならば|z|=|w|が成り立つ事実です.
|r_1(cosθ_1+isinθ_1)|=|r_2(cosθ_2+isinθ_2)|
⇔|r_1||e^iθ|=|r_2||e^iθ| [e^iθは単位円を表すから大きさは半径1に相当します.]
⇔|r_1|=|r_2| [要するに複素平面で半径が等しい.]
r_1>0, r_2>0なのでr_1=r_2
このときe^iθ_1=e^iθ_2となるのはθ_1=θ_2+2nπに限られるので示されました.
質問の意図を誤解していたようなので少しだけ補足します.
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r_1(cosθ_1+isinθ_1)とr_2(cosθ_2+isinθ_2)が等しい.
これは複素平面上に適当な2点P_1(r_1cosθ_1, r_1sinθ_1)とP_2(r_2cosθ_2, r_2sinθ_2)があって一致する
ということを意味します.
r_1=r_2は原点Oを中心とする同一円周内にあること, θ_1=θ_2+2nπは偏角が一致すること
この2つが必要十分条件だということを言っているわけです.
直感的には図に書いてみると明らかですが, 証明は上で示したように少し考える必要があったわけですね.
補足説明までして下さり本当にありがとうございます！！
なるほど！！！
理解出来ました！！！
ありがとうございました！！😊
回答して下さってありがとうございます！！
わざわざ証明していただき、本当にありがとうございました！！
おかげで理解が深まりました！！
ありがとうございます！！😊
すごく迷いましたが、素晴らしく丁寧に解説してくださったので、こちらをベストアンサーとされていただきます。
お二方とも本当にありがとうございました！m(__)m