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これは解の配置をテーマにした古典的良問です.
どうして最初の方程式が1の3乗根と繋がるのかは数IIIの知識が必要となります[回転が重要な役割を果たしています].
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①3次方程式x^3+ax^2+6x+a+1=0⇔(x^3+6x+1)+a(x^2+1)=0 [計算しやすい形に同値変形]
はx=-1を解に持つので{(-1)^3+6(-1)+1}+a{(-1)^2+1}=0が成り立ちます.
これを解くと2a-6=0⇔a=3.
aを元の方程式に代入するとx^3+3x^2+6x+4=0⇔(x+1)(x^2+2x+4)=0
[x=-1を解に持つので因数定理からx^3+3x^2+6x+4は(x-(-1))を約数に持ちます. 残りの項は2次式なので(ax^2+bx+c)と置けます.
x^3+3x^2+6x+4=(x+1)(ax^2+bx+c)が恒等式となるようにa, b, cを定めればよくて, x^3: a=1 x^0=c=4は一目で分かります.
残りの次数はx^2: a+b=3⇔b=2, x: b+c=6⇔b=2で係数がすべて定まりました. 慣れればこの過程を暗算でやれます.]
x=-1以外の解はx^2+2x+4=0を満たすから, x=-1±√(1-4)=-1±√3i [re^(iθ)の形で表してβ/αとα/βの意味を考えるとカラクリが分かります].
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②x^2+2x+4=0の解がα, βなのでx^2+2x+4=(x-α)(x-β)=0⇔α+β=-2, αβ=4 [解と係数の関係]
ここで(β/α)+(α/β)=(α^2+β^2)/αβ={(α+β)^2-2αβ}/αβ={(-2)^2-2*4}/4=-1. (β/α)*(α/β)=1なので
β/αとα/βを解に持つxの2次方程式のうち, 最高次数が1のものは解と係数の関係から
x^2-(-1)x+1=0⇔x^2+x+1=0 [どこかで見た形ですよね?]
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③1の３乗根{1,ω,ω^2}を解とするxの3次方程式はx^3=1⇔(x-1)(x^2+x+1)=0である.
すなわち②で得られた2次方程式はω, ω^2を解とする方程式に他ならない.
(β/α)^n+(α/β)^n=ω^n+ω^2n=ω^n(1+ω^n) [β/α, α/βのいずれかがω, 他方がω^2]
[３乗根のn乗が関わる場合は3による剰余で分類する. その理由はω^3=1が周期を与えるからです.]
nが3で割り切れるとき, ω^3=1であることに注意すると(β/α)^n+(α/β)^n=ω^n(1+ω^n)=1*(1+1)=2
nを3で割った余りが1のとき, ω^2+ω+1=0であることに注意して(β/α)^n+(α/β)^n=ω^n(1+ω^n)=ω(1+ω)=ω+ω^2=-1
nを3で割った余りが2のとき, (β/α)^n+(α/β)^n=ω^n(1+ω^n)=ω^2(1+ω^2)=ω^2+ω^4=ω^2+ω=-1
[分かりにくい場合は具体的n=3k-2, 3k-1, 3k [kは自然数]とすればいいでしょう.]
以上から
(β/α)^n+(α/β)^nの値は, nが3の倍数のとき2, nが3の倍数ではないとき-1である.
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最後の1の３乗根に繋げるところは慣れていないと難しかったかもしれません.
様々な要素がうまく絡んだ問題なのでしっかり復習しましょう.
