泥臭いやり方で説明しましょう.
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56の倍数というのは適当な整数kを選んで56kと書けます.
約数の個数を知るために素因数分解すると2^(3+a)*7^(1+b)*p^(c)*q^(d)・・・[p, q…は2,7と互いに素な整数; a,b,c・・・は0以上の整数]
ここで注意したいのは, kの中に2の倍数, 7の倍数を含む可能性があるのでa, bを足しておく必要があります.
これから約数の個数は(3+a+1)*(1+b+1)*(c+1)*(d+1)…となるはずですね.
一方, 問題文によると約数の個数は15個なので上の素因数分解と比較すると
15=3*5
項が2つしかないのでc+1, d+1・・・はすべて1, すなわちc=d=・・・=0と決まります.
残りをマッチングさせればよくて
a+4=5, b+2=3⇔a=1, b=1 [a+4≧4なのでa+4=3にはなり得ません.(これが質問の理由ですね.)]
の可能性に限られます.
a=1, b=1のとき, 2^(3+1)*7^(1+1)=2^4*7^2=784.
とても分かりやすい解説ありがとうございます！
解答に沿った説明だと
56k=2^(3+a)*7^(1+b)⇔p^4q^2の形
3+a≧3>2なので3+a=4, 1+b=2しかない
ということになります.