てかそれはもう公式みたいなもんですよ
∫ {1/√(a²-x²)} dx=sin⁻¹(x/a)+C
∫ {1/(a²+x²)} dx=(1/a)·tan⁻¹(x/a)+C
(Cは積分定数)
y=sin⁻¹x のとき、 y'=1/√(1-x²)
y=tan⁻¹xのとき、 y'=1/(1+x²)
だからですね。
今回の問題ではa=1のときですが、一般的には
x=a·sinθ
と置換すればうまくいきます
なるほど、置換するときの定義域は、その置換後の関数のことだけ考えればいいんですね
でも、π/2＜θ＜3π/2としても-1＜sinθ＜1ですよね？
でもこれだとcosθがマイナスになるので結果が変わってしまいます
このようなことは考えなくて良いんですか？
その理由も教えて欲しいです
高1だけど数学に興味があるので, あれこれ考えたり, 進んで勉強をしているのですね.
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x=sinθと置いて計算してみてください.
答えはArcsin(x)[逆正弦関数]+Cになるはずです.
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国強になりたいさんの知識でも読める大学の微分積分学の本[洋書はまだ無理でしょうね]ですが
小林昭七: 微分積分読本 -1変数-
小平邦彦: 解析入門1
あたりを読むといいでしょう. どちらも一流の先生が自分流にまとめたいい本です.
x=sinθと置くと-π/2＜θ＜π/2としたときとπ/2＜θ＜3π/2としたときに結果が変わってしまいますよね？
普通後者のような定義域の設定はしないかと思いますが、結果が変わってしまうのは大丈夫なのでしょうか？
どのようなθ[x=sinθ]を選べば関数1/√(1-x^2)の振舞[θとxの対応]と矛盾しないのかも当然考えるのですよ.
dx/dθ=cosθ
∫dx/√(1-x^2)=∫cos(θ)/|cosθ|dθ:=θ+C[cosθ≧0のとき], -θ+C[cosθ<0のとき][Cは積分定数]
θ∊(-π/2, π/2)ならばcosθ≧0, θ∊(π/2, 3π/2)ならばcosθ<0と符号が逆転するので結果は変わりません.
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x∊(-1,1)で定積分したいのなら
1/√(1-x^2)は偶関数で, またx=±1では定義されていませんから, 次の広義積分を考えて
2lim[c->1]∫[0->c]dx/√(1-x^2)=2lim[θ->π/2]∫[0->c]∫θdθ=2lim[c->π]c=2*(π/2)=π
とするのです.
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人に質問をするのもいいですが, 基本を疎か[忠実に計算すれば絶対値が表れ, そこで考えます.]にせず, 時間を掛けて考える[残念ながら国強になりたいさんの質問からはその痕跡が見られません...]ことも大事ですよ.
あとは図書館で私が推薦した本, もしくは自分の気に入った本とじっくり[分からないときは1節に数日掛けます]格闘してください.
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sinθで置換したら絶対値が出てきてうまくいかなくないですか？
-π/2＜θ＜ π/2と決めればできますが、これだとcosが正の値しかとらないので一般性が失われてしまうような気がします