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(1)
隣接する2整数の一方は偶数なのでnかn+1の一方は偶数である. したがってその積であるn(n+1)は偶数である.
(2)
隣接する3整数のいずれかは3の倍数なのでn, n+1, n+2のいずれかは3の倍数である.
また2n+1=2(n+2)-3と表されるのでn+2が3の倍数なら2(n+2)-3も3の倍数である.
以上よりn, n+1, 2n+1のいずれかは少なくとも3の倍数である. すなわちその積は必ず3の倍数である.
(1)の結果と2と3が互いに素であることからn(n+1)(2n+1)は6の倍数である.
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と解けば(1)(2)と同じというわけにはいきませんね.
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(3)
(1)と(2)からn(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)が6の倍数であることは分かっています.
30の倍数というのは30=2*3*5ですから, n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)が5の倍数であることを示せばいいことになります.
つまりn, n+1, 2n+1, 3n^2+3n-1のどれかが5の倍数であることを示したい.
nが5の倍数->n=5k n+1が5の倍数->n+1=5k⇔n=5k-1...
これからnを5で割った余りで分類すればいいことが分かります.
そのすべての可能性はn=5k, 5k+1, 5k+2, 5k+3=5(k+1)-2, 5k+4=5(k+1)-1です.
ここでn=5k-1, 5k-2のようにするのは, 計算が楽になるからです[それと=5k, 5k±1, 5k±2と対称性よくまとまる].
あとは解答のようにすべての場合について5の倍数になっている項があることを確認すれば証明が終わります.
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合同式を使った剰余系の分類法を知っていれば
n≡0(mod5)
n≡1(mod5)→3n^2+3n-1≡3+3-1(mod5)⇔3n^2+3n-1≡0(mod5)
n≡2(mod5)→2n+1≡2*2+1(mod5)⇔2n+1≡0(mod5)
n≡-1(mod5)→n+1≡0(mod5)
n≡-2(mod5)→3n^2+3n-1≡3(-2)^2+3(-2)-1=5(mod5)⇔3n^2+3n-1≡0(mod5)
とすればいいです.
どうして解答に2n+1がいきなり出てくるの?という意味なら
3n^2+3n-1=3(5k+2)^2+3(5k+2)-1=3(5k+2)^+5(3k+1)
なので5の倍数ではない. n, n+1は明らかに5の倍数ではない.
残るは2n+1しかない, と判断したという理解でいいと思います.
そこで2n+1=2(5k+2)+1=5*(2k)+5=5(2k+1)と確かに5の倍数です.