Question

国強になりたい

この漸化式を解く時、両辺に(n+1)をかければいいんですが、このような変形を問題ごとに覚えるのではなく、何か変形を思いつくコツはないのでしょうか…

5                                                        ゃ

Answer 1

なお

まあ、まずはどこに着目するのか、その分析ですよね

Answer 2

LUX SIT

未知の問題を解くときは既知の問題に帰着させて解くのが最初の発想になると思います.
漸化式の場合は等差・等比数列に落とし込みたいと考えるわけですね.
この問題の場合だと
(n+1+1)a[n+1]=na[n]+1なのでb[n]=na[n]と置き換えてb[n+1]=b[n]+1のようにならないか?と着想します.
問題は(n+1+1)とa[n+1],nとa[n]の対応がうまくいかないことです.
過去にこういう例がないかと考える[類推する]と,
畳み込み級数の計算で使った1/n(n+1)(n+2)=1/2{1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)}
のように間に一つ挟めばうまくいったな, という経験を思い出すと思います.
そこで両辺にn+2とnの仲立ちをするn+1を掛ければ
(n+2)(n+1)a[n+1]=(n+1)na[n]+(n+1)
となって確かに計算できると判断するわけですね.
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大事なのは
*どの基本形[等差・等比数列]に帰着させるか確かな方針を立てる.
*極限の絡む問題は特性方程式から結果を推測する. 逆数形のように縮小写像が絡む問題[作題者の意図]では有効です.
*定石はある程度覚えておいた方がいいです. 定石に至るまでの意図が新規問題の発想の手掛かりになることは多いので, そこも勉強する.
*闇雲に試行錯誤するのではなく, 過去の経験と照らし合わせ確かな類推を進めると, 無駄に時間を使うことはなくなります.
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このタイプの問題は過去に東工大ならノーヒントで解かせていますし, 1対1対応のような網羅性の高い問題集で慣れるのも手です.