平方完成すると
y=x^2+2mx+m^2+1=(x+m)^2+1≧1>0 [実数aに関してa^2≧0が常に成り立つ. (x+m)^2でも同じですよね.]
なのでmに依らず常にx軸より上にあることが分かる. [2次関数y=ax^2+bx+c(a>0)は下に凸なので最小値をもつ. それがx軸(y=0)より上にあることを示した.]
これはグラフが常にx軸と共有点をもたないことと同値である.
***
y=0と共有点をもたない⇔x^2+2mx+m^2+1=0が実数解をもたない⇔判別式D<0
やっていること自体は同じなのですが, 形式的なので解法を暗記しているだけの人には意味が分かりにくいです[だから質問したのでは?].
どういう動機で判別式を使ったのかよく理解しましょう.
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