Question

ゲスト

Gを群，SをGの空でない部分集合とする．
この時，N(S):={x∈G|xSx*=S} はGの部分群となることを示せ．
(x*:=xの逆元)
が分かりません。

一応、
群Gの空でない部分集合Hに対し，次の3条件は同値である．
(1)HはGの部分群である．
(2)∀a,b∈Hに対し，ab∈Hかつa*∈Hが成り立つ．
(3) ∀a,b∈Hに対し，a*b∈Hが成り立つ．
を用いるというヒントを貰ったんですけど、うまく適用させることができません。

初手からどうすれば良いのか全くわからないので教えてください。

早い回答だと嬉しいです。よろしくお願いします。

群論

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ねけう

a,b∈N(S)とする
・a^(-1) (逆元) がN(S)の元となること
aS=Saが成り立つので、左からa^(-1)を掛けて
S=a^(-1)Sa
・ab∈N(S)
①aS=Sa ②bS=Sb が成り立っている
abS=aSb (②より)
=Sab (①より)

ねけう

(2)を使いました

ゲスト

回答ありがとうございます。早くて助かります。

5つ質問なのですが、
(1)a*Sa=Sa*a=Sでも構いませんか？
(2)S=a*Sa
と言えたらa*∈N(S)を示せたことになる理由がわからないので教えてください。
(3)可換群(アーベル群)の記載がないと交換法則は成り立つとは限らないと思ったのですが、違いますか？
(4)Gが群であること、その部分集合Sについて全く触れてないのですが、どこでその条件を用いているのですか？
(5)abS=Sabと言えれば、ab∈N(S)と言えるのはなぜですか？

多くてすみませんが、よろしくお願いします。

ねけう

(1)可換かどうか分からないのでダメです

(2)a^(-1)Sa=a^(-1)S(a^(-1))^(-1)が成り立つからです
見やすくc=a^(-1)とすれば、cSc^(-1)となります

(3)あってます

(4)Gが群であることは、ab∈Gとなることに用いられています。 解答にあるSは部分集合として用いています

(5)abS=Sab
両辺に右から順番にb^(-1)a^(-1)を掛けると
abSb^(-1)a^(-1)=S
abS(ab)^(-1)=S

ねけう

ごめんなさい、朝で寝ぼけてました
(1)はaS=Saが成り立つのでOKです

ゲスト

回答ありがとうございます。
さらに質問ですみませんが、良ければ答えて欲しいです。

(6)aS=Saは可換群の定義を用いたものだと思ったのですが、何を用いたのですか？
(7)N(S)はx∈GであるようなxSx*の集合で合ってますか？
(8)((7)が合ってると仮定して、)N(S)∋a*=x*s*x (∀s∈S)で、SはGの部分集合なので、s*∈Sとは言い切れないと思ったのですが、違いますか？

よろしくお願いします。

ねけう

(6)aSa^(-1)=Sの両辺に右からaを掛ければaS=Saとなることから、a∈N(S)ならaS=Saとなることが分かります
(7)違います。N(S)は、x∈Gに対しxSx^(-1)=Sとなるような"xの"集合です

ねけう

集合は | の左側に集めるもの、右側に条件を書くのがルールです

ゲスト

回答ありがとうございます。
よく分かりました。
助かりました。＿|￣|○