平均値の定理を使います
一応、微分積分学の基本定理を書いておきます
I=[a,b]を実数の区間、fをI上の実数値関数とする
fがIで微分可能で、導関数f'がI上連続ならば
∫[a→b] f'(x)dx=f(b)-f(a)
が成り立つ
証)
区間Iの任意の分割
Δ : a=x_0<x_1<・・・<x_n=b
に対して平均値の定理から
f(x_k)-f(x_(k-1))=f'(s_k)(x_k-x_(k-1)) (1≦k≦n)
を満たすs_k ∈ (x_(k-1),x_k) が存在する。
このs_kを代表点とするf'のリーマン和Sは
S=Σ_(k=1)^n f'(s_k)(x_k-x_(k-1))
=Σ_(k=1)^n f(x_k)-f(x_(k-1))
=f(b)-f(a)
となる。∫[a→b] f'(x)dx は分割の幅を0に近づけたときのリーマン和Sの極限値であり、Sは常にf(b)-f(a)となる。なので
∫[a→b] f'(x)dx=f(b)-f(a)
fの点x\in Iでの連続性から，任意の\epsilon>0に対して，ある\delta>0が存在して，
|t-x|<\delta\Ra|f(t)-f(x)|<\epsilon
が成り立つ．よって，c\in Iを任意にとり，F(x)=\dint_{c}^{x}f(t)\,dtでI上の不定積分Fを定めると，任意のx\in Iとx+h\in I\setminus\{x\}なるh\in(0,\delta)に対して，
\abs{\f{F(x+h)-F(x)}{h}-f(x)}
=\f{1}{|h|}\abs{\dint_{c}^{x+h}f(t)\,dt-\dint_{c}^{x}f(t)\,dt-hf(x)}
=\f{1}{|h|}\abs{\dint_{x}^{x+h}f(t)\,dt-\dint_{x}^{x+h}f(x)\,dt}
\le\f{1}{|h|}\dint_{x-|h|}^{x+|h|}|f(t)-f(x)|\,dt
<\f{1}{|h|}\dint_{x-|h|}^{x+|h|}\epsilon\,dt =2\epsilon
が成り立つから，FはI上のfの原始関数である．
(2) Gはfの原始関数だから，定義よりG'=fである．また，Fはfの不定積分だから，(1)よりF'=fである．よって，F'=G'だから，(F-G)'=0である．
よって，F-Gは定数なので，Gは不定積分の定数差のものに限る．
(3) (2)の記号を用いる．
F(x)=\dint_{a}^{x}f(t)\,dtにより，不定積分Fを定める．2より，F-Gは定数だったから，
F(x)-G(x)=F(a)-G(a)=-G(a)
である．ただし，F(a)=\dint_{a}^{a}f(t)\,dt=0であることを用いた．よって，
\dint_{a}^{b}f(t)\,dt=F(b)=G(b)-G(a)
が成り立つ．
[証明終]
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