Question

Raiki

線形写像 w=z+1/z によって，単位円はどのような図形に写像されるか図示せよ．
なお， z=x+iy （iは虚数単位）である．

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w=u+ivとする．
u+iv=(x+iy)+1/(x+iy)
右辺を変形していくと，
（右辺）=(x+iy)+x/(x²+y²)-y/(x²+y²)i
となるので，

u=x+x/(x²+y²)=x{1+1/(x²+y²)}
v=y-y/(x²+y²)=y{1-1/(x²+y²)}

単位円 u²+v²=1なので，
x²{1+1/(x²+y²)}²+y²{1-1/(x²+y²)}²=1

これを図示…は何か違うのかなと，
方針が間違いのような気がします．

解答の手順を教えてください．

写像 写像関数

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

あっちゃん

u^2+v^2=1が違うんじゃないですか？

(u,v)はどっちの空間の元ですか？

そして単位円はどっちの空間にあるんですか？

あっちゃん

ごめんなさい…
(u,v)はどっちの空間の元でもないですね…

(u,v)はどっちの空間の元を表すのに使うんですか？

Raiki

(u,v)はw=u+ivでwの空間，
単位円はzの空間だと考えました．

もう一度解いてみたところ，以下のようになりました．

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題意より， z=x+iyとおく．
w=u+iy=z+1/z
=(x+iy)+1/(x+iy)
=2x（∵単位円よりx²+y²=1）
となるので，u=2x，v=0
-1≦x≦1より，-2≦u≦2

従って，2点 -2，2を結ぶ線分に写像される．

あっちゃん

それでいいと思いますよ！

Raiki

ありがとうございます！