Question

ブラック

広義積分の収束か発散するか判定する問題です。
判定だけなので、適当に別の関数を使って、不等式で判定しようと考えました。しかし、なかなか上手くいきませんでした。解説お願いします。

広義積分

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

gößt

感覚的には、任意のα>0に対して
十分大きなxに対しては
log(1+x)＜x^α
なので、十分大きなxに対しては
1/(log(1+x))²＞1/x^α
だろうと判断できます。よって発散すると期待できます

具体的には、例えばこのような感じです
まず、任意のx>1に対して
log(1+x)＜x
である(証明略)
よって、任意のx>1に対して
log⁴√(1+x)≦log(1+⁴√x)＜⁴√x
∴log(1+x)＜4•⁴√x
両辺正なので二乗して
{log(1+x)}²＜16√x
よって
1/{log(1+x)}²＞1/16√x
となり、右辺は1から∞まで積分すると発散するので左辺も発散します

ブラック

ありがとうございます。比較する関数を1/√(x+1)として解いてみたのですが、これでも正解でしょうか。

gößt

いいと思いますよー

ブラック

参考になりました。ありがとうございました。