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変曲点とは 関数y＝f(x) の曲がり方が変わる点であり、 f″(p)＝0 のとき x＝p の前後で符号が変化する点のことを指します(色々省いていますが)
今回その点が x＝0、±√3a というところまで出ています
ここで言及するのは √3a の中にある a についてです
a>0 のとき
√3a は実数となり、x＝0、±√3a となるため、増減表に書いてあるように変曲点は3つとなります
a＝0 のとき
√3a は 0 となり、x＝0 だけになるから変曲点は1つ……これは間違いです
元の式である y＝x/(x²＋a) を確認しましょう
a＝0 ならば y＝ x/x² ＝ 1/x となり、これは双曲線となります
つまり、曲がり方が変化している点はないため変曲点は0となります
(つまり x＝0、y＝0 は漸近線となり、x＝0はなくなります)
(増減表のxの欄の －√3a 〜 √3a の数値が全て0になると考えると、xを0に極限まで近づけると x→－0 のとき y＝－∞、x→＋0 のとき y＝＋∞、となる曲線と考えることができる(yの欄の左端の⤵と右端の⤷だけ残る)ので x＝0 は漸近線と考え、変曲点はないと考えることもできます)
a<0 のとき
√3a は √ の中に － が入ってしまうことで虚数となり、座標平面上にはないため x＝0 のみ残るので変曲点は1つとなります
問題を解く分にはこのような考え方でいけると思います
この問題の場合、注目すべきはやはり √ が付いてる数になります
そして元の関数は常に意識出来るといいと思います
わかりやすい解説ありがとうございます